Название: Архитектурно-строительное проектирование - Сборник студенческих и преподавательских научных статей (О. С. Андрианова)

Жанр: Строительный

Просмотров: 2098


Геометрия лобачевского

 

Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856 гг.) в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.

Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и

в  геометрии  Лобачевского.  Абсолютная  геометрия  есть  общая  часть  и  общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.

 

 

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (т. е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома, противоположный  аксиоме   Плейфера,   а   значит,   и

5-му постулату.

Через   точку,  лежащую        вне      прямой           плоскости,

определяемой    ими,    можно    провести    не    менее

2-х прямых, не пересекающих данной прямой.

Эта      аксиома          утверждает     существование,          по

крайней мере 2-х таких прямых. Отсюда следует, что таких прямых существует бесконечное множество.

Плоскость (или пространство), в которой предполагается выполнение аксиомы

Лобачевского, называется плоскостью (или пространством) Лобачевского.

 

 

Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства. Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в то числе и 5-й постулат) совершенно   верна,   если   ее    рассматривать   не    на

плоскости,  а  на  поверхности  гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).

Геометрия  Лобачевского  имеет  обширные применения  как  в  математике,  так  и  в  физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением  Лобачевский  показал  возможность геометрии,  отличной  от  евклидовой,  что  знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.

 

Литература

1.  Делоне,  Б.  Н.  Элементарное доказательство непротиворечивости плани-

метрии Лобачевского /  Б. Н. Делоне. – М. : Гостехиздат, 1956.

2. Александров, А. Д. Геометрия / А. Д.  Александров, Н. Ю. Нецветаев. – М. :

Наука, 1990.

 

Студ. А. А. Сивак, науч. рук. – ассистент О. С. Андрианова