Название: Основы проектирования приборов и систем : сборник лабора-торных работ (Шивринский, В. Н.)

Жанр: Информационные системы и технологии

Просмотров: 3640


Погрешности среднего арифметического

Если случайные погрешности результатов отдельных наблюдений подчиняются нормальному распределению, то и погрешности средних значений их повторных рядов подчиняются этому же закону, но с другим рассеянием. Рассеяние средних значений меньше, чем рассеяние результа- тов отдельных наблюдений. Оценка S0 среднего квадратического откло- нения результата измерения (среднего, ) вычисляется по формулеДоверительные интервалы и вероятности для среднего значенияСлучайные погрешности среднего значения  также распределяются по нормальному закону, поэтому можно определять для них доверитель- ный интервал (Е) по формуле (1.8) и пользоваться таблицами 1.1, 1.2.Пример 2.  Определить  доверительный  интервал  для  среднего  значения  из64 наблюдений при S = 0,04 и заданной доверительной вероятности 0,9.Найдем среднее квадратическое отклонение среднегоS0 = S /         n  = 0,04 /        64  = 0,005.

Для Ф(t) = 0,9 по таблице 1.1 находим t = 1,645. Границы доверительного интер-вала: Е = tS0 = 1,6450,005 0,008.Оценка результатов при малом числе наблюдений и неизвестной дисперсииРассмотренный выше способ определения доверительных интервалов справедлив только при большом количестве измерений (n > 2030). На практике значение Е приходится определять по результатам сравнительно небольшого числа измерений. При этом нужно пользоваться коэффициен- тами Стьюдента tc, которые зависят от задаваемой доверительной вероят-ности Pc и числа измерений n (см. таблицу 1.3).

Коэффициенты Стьюдента tc Таблица 1.3

 

n

Значения tc при Рc

0,5

0,7

0,9

0,95

0,98

0,99

0,995

0,999

2

1,000

1,963

6,314

12,71

31,82

63,66

127,3

636,6

3

0,916

1,336

2,920

4,30

6,96

9,92

14,1

31,6

4

0,765

1,250

2,353

3,18

4,54

5,84

7,5

12,94

5

0,741

1,190

2,132

2,78

3,75

4,60

5,6

8,61

6

0,727

1,156

2,015

2,57

3,36

4,03

4,77

6,86

7

0,718

1,134

1,943

2,45

3,14

3,71

4,32

5,96

8

0,711

1,119

1,895

2,37

3,00

3,50

4,03

5,40

9

0,706

1,108

1,860

2,31

2,90

3,36

3,83

5,04

10

0,703

1,100

1,833

2,26

2,82

3,25

3,69

4,78

11

0,700

1,093

1,812

2,23

2,76

3,17

3,58

4,59

12

0,697

1,088

1,796

2,20

2,72

3,11

3,50

4,49

13

0,695

1,083

1,782

2,18

2,68

3,06

3,43

4,32

14

0,694

1,079

1,771

2,16

2,65

3,01

3,37

4,22

15

0,692

1,076

1,761

2,15

2,62

2,98

3,33

4,14

16

0,691

1,074

1,753

2,13

2,60

2,95

3,29

4,07

17

0,690

1,071

1,746

2,12

2,58

2,92

3,25

4,02

18

0,689

1,069

1,740

2,11

2,57

2,90

3,22

3,96

19

0,688

1,067

1,734

2,10

2,55

2,88

3,20

3,92

20

0,688

1,066

1,729

2,09

2,54

2,86

3,17

3,88



0,674

1,036

1,645

1,96

2,33

2,58

2,81

3,29

При     n    распределение           Стьюдента     сводится         к          нормальному. (Стьюдент – псевдоним английского статистика Уильяма Госсета).В таблицах, приводимых в книгах по теории вероятностей, чаще ука-зывается не число наблюдений n, а число степеней свободы k (k = n – 1).

Вместо доверительной вероятности Рc  в ряде книг указывается «уро- вень значимости», равный 1 – Рc. Зная число наблюдений n и задавшись доверительной вероятностью Рc, можно найти по таблице 1.3 значение tc, а умножив его на S0 – определить границы доверительного интервала.Пример 3.  Шестикратное  взвешивание  изделия  дало  следующие  результаты:72,361; 72,357; 72,352; 72,346; 72,344; 72,340 г. Определить доверительный интервал для среднего при доверительной вероятности равной 0,99.Решение задачи представим в виде таблицы

Хi, г

Vi, мг

V 2, мг2 i

72,361

+ 11

121

72,357

+ 7

49

72,352

+ 2

4

72,346

– 4

16

72,344

– 6

36

72,340

– 10

100

 = 72,350

Vi = 0

 V 2 = 326i

i

 
S =        V 2 / (n  1)  = 326 / 5 = 8,1 мг; S0 = S /     n  = 8,1 /          6  = 3,3 мг.

По таблице 1.3 находим для n = 6 и Рc = 0,99 tc = 4,03. Доверительный интервал для среднего (3,34,03) = 13 мг.Оценка грубых результатов наблюденийПри обработке результатов наблюдений случайной величины, заведо- мо подчиняющейся нормальному закону распределения, при принятии решения об исключении или сохранении резко отличающихся результатов наблюдений  (грубых)  нужно  внимательно  проанализировать  условия, в которых получился резко отличающийся результат.Сомнительным может быть лишь наибольший Хmax или наименьший Xmin из результатов наблюдений. Вопрос о том, содержит ли данный ре- зультат грубую погрешность, решается общими методами статистических гипотез. Для проверки гипотезы, что результат не содержит грубой по- грешности, вычисляют Jmax = (Xmax – ) /S или Jmin = ( – Xmin) /S. Результаты Jmax  и Jmin  сравнивают с наибольшим значением Jp, которое случайная ве- личина J может принимать по чисто случайным причинам. Значения Jp для n = 315,  при  заданной  доверительной  вероятности,  протабулированы

и представлены  в  таблице 1.4.  Если  вычисленное  по  опытным  данным значение J окажется меньше Jp, то гипотеза принимается. В противном случае результат Хmax или Xmin приходится рассматривать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при дальнейшей об-работке результатов наблюдений.

Значения Jp Таблица 1.4

 

n

Значения Jp при Р равной

0,9

0,95

0,975

0,99

3

1,406

1,412

1,414

1,414

4

1,645

1,689

1,710

1,723

5

1,731

1,869

1,917

1,955

6

1,894

1,996

2,067

2,130

7

1,974

2,093