Название: Основы проектирования приборов и систем : сборник лабора-торных работ (Шивринский, В. Н.)

Жанр: Информационные системы и технологии

Просмотров: 3526


Отклонение от среднего

Отклонение от среднего Vi определяют по формулеVi = Xi – .           (1.2)Отклонения от среднего имеют два очень важных свойства, которые используются для контроля правильности вычислений:1). Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна нулюVi = 0.   (1.3) Это  равенство  справедливо  всегда,  если  при  вычислении  среднего арифметического не производилось округление. Если же округление сде- лано, то всегда можно оценить, в какой степени отклонение от нуля соот-ветствует этому округлению.2). Сумма квадратов Vi имеет минимальное значениеVi2 = min.          (1.4) Если  вместо  среднего  арифметического  возьмем  какое-либо  другое значение и определим отклонение от него результатов отдельных наблю- дений, то сумма квадратов этих отклонений всегда будет больше, чемсумма квадратов отклонений от среднего.Определение среднего квадратического отклонения по опытным даннымПри бесконечном числе испытаний случайная величина может при- нимать любые значения, называемые генеральной совокупностью. Неко- торое число n этих значений называют выборкой объема n. Определяя по данным этой выборки характеристики закона распределения, получаем не истинные значения дисперсии D, среднего квадратического отклонения  и т. д., характерные для всей генеральной совокупности, а лишь их оцен- ки. Оценка S среднего квадратического отклонения результата наблюде- ния (любого из ряда Х1, Х2, ..., Хn) вычисляется по следующей формулеПоявление  в  знаменателе  подкоренного  выражения  (n – 1)  связано с заменой истинного значения измеряемой величины средним арифмети- ческим результатов наблюдений.

Вычисление вероятности попадания случайной погрешности в заданный интервал, уровень значимостиВероятность  попадания  погрешности  в  доверительный  интервал  с границами +и –при нормальном распределении выражается формулойР[– <  < +] = Ф(t).     (1.6)Здесь функция Ф(t) (таблицы 1.1, 1.2) называется интегралом вероятно-стей (интегралом Лапласа); t = /; = t.

Значения интеграла вероятностей Таблица 1.1

 

t

Ф(t)

 

t

Ф(t)

 

t

Ф(t)

0,05

0,0399

 

0,65

0,4843

 

1,25

0,7887

0,10

0,0797

 

0,70

0,5161

 

1,30

0,8064

0,15

0,1192

 

0,75

0,5467

 

1,35

0,8230

0,20

0,1585

 

0,80

0,5763

 

1,40

0,8385

0,25

0,1974

 

0,85

0,6047

 

1,45

0,8529

0,30

0,2357

 

0,90

0,6319

 

1,50

0,8664

0,35

0,2737

 

0,95

0,6579

 

1,55

0,8789

0,40

0,3108

 

1,00

0,6827

 

1,60

0,8904

0,45

0,3473

 

1,05

0,7063

 

1,65

0,9011

0,50

0,3829

 

1,10

0,7287

 

1,70

0,9109

0,55

0,4177

 

1,15

0,7499

 

1,75

0,9199

0,60

0,4515

 

1,20

0,7699

 

1,80

0,9281

Вероятность того, что случайная погрешность окажется за границами интервала , равна P[  <  ] = 1 – Ф(t). Ф(t), соответствующая данному доверительному интервалу , называется доверительной вероятностью, а значение  1 – Ф(t)  –  уровнем  значимости.  Доверительную  вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий. Часто пользуются дове- рительным интервалом от +3 до –3, для которого доверительная веро- ятность составляет 0,9973 или 99,73\%.Пример 1. Известно, что  среднее  квадратическое отклонение  равно  = 0,002. Определить вероятность того, что случайная погрешность измерения будет лежать в пределах доверительного интервала с границами  = 0,005 (0,5\%).Определяем t = /= 0,005/0,002 = 2,5. По таблице 1.2 находим доверительную вероятность Ф(t), соответствующую t = 2,5, т. е. Ф(t) = 0,9876. Уровень значимости1 – Ф(t) = 0,0124.

Значения доверительной вероятности и уровня значимости Таблица 1.2

 

t

Ф(t)

1 – Ф(t)

 

t

Ф(t)

1 – Ф(t)

 

t

Ф(t)

1 – Ф(t)

1,85

0,9357

0,0643

2,45

0,9857

0,0143

3,10

0,9981

1,9Е–3

1,90

0,9426

0,0574

2,50

0,9876

0,0124

3,20

0,9986

1,4Е–3

1,95

0,9488

0,0512

2,55

0,9892

0,0108

3,30

0,99904

9,6Е–4

2,00

0,9545

0,0455

2,60

0,9907

0,0093

3,40

0,99932

7,8Е–4

2,05

0,9596

0,0404

2,65

0,9920

0,0080

3,50

0,99954

4,6Е–4

2,10

0,9643

0,0357

2,70

0,9931

0,0069

3,60

0,99968

3,2Е–4

2,15

0,9684

0,0316

2,75

0,9940

6,0Е–3

3,70

0,99978

2,2Е–4

2,20

0,9722

0,0278

2,80

0,9949

5,1Е–3

3,80

0,99986

1,4Е–4

2,25

0,9756

0,0244

2,85

0,9956

4,4Е–3

3,90

0,99990

1,0Е–4

2,30

0,9786

0,0214

2,90

0,9963

3,7Е–3

4,00

0,999936

6,4Е–5

2,35

0,9812

0,0186

2,95

0,9968

3,2Е–3

4,50

0,999994

6,0Е–6

2,40

0,9836

0,0174

3,00

0,9973

2,7Е–3

5,00

0,9999994

6,0Е–7