Название: Основы проектирования приборов и систем : сборник лабора-торных работ (Шивринский, В. Н.)

Жанр: Информационные системы и технологии

Просмотров: 3985

Отклонение от среднего

Отклонение от среднего Vi определяют по формулеVi = Xi – .           (1.2)Отклонения от среднего имеют два очень важных свойства, которые используются для контроля правильности вычислений:1). Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна нулюVi = 0.   (1.3) Это  равенство  справедливо  всегда,  если  при  вычислении  среднего арифметического не производилось округление. Если же округление сде- лано, то всегда можно оценить, в какой степени отклонение от нуля соот-ветствует этому округлению.2). Сумма квадратов Vi имеет минимальное значениеVi2 = min.          (1.4) Если  вместо  среднего  арифметического  возьмем  какое-либо  другое значение и определим отклонение от него результатов отдельных наблю- дений, то сумма квадратов этих отклонений всегда будет больше, чемсумма квадратов отклонений от среднего.Определение среднего квадратического отклонения по опытным даннымПри бесконечном числе испытаний случайная величина может при- нимать любые значения, называемые генеральной совокупностью. Неко- торое число n этих значений называют выборкой объема n. Определяя по данным этой выборки характеристики закона распределения, получаем не истинные значения дисперсии D, среднего квадратического отклонения  и т. д., характерные для всей генеральной совокупности, а лишь их оцен- ки. Оценка S среднего квадратического отклонения результата наблюде- ния (любого из ряда Х1, Х2, ..., Хn) вычисляется по следующей формулеПоявление  в  знаменателе  подкоренного  выражения  (n – 1)  связано с заменой истинного значения измеряемой величины средним арифмети- ческим результатов наблюдений.

Вычисление вероятности попадания случайной погрешности в заданный интервал, уровень значимостиВероятность  попадания  погрешности  в  доверительный  интервал  с границами +и –при нормальном распределении выражается формулойР[– <  < +] = Ф(t).     (1.6)Здесь функция Ф(t) (таблицы 1.1, 1.2) называется интегралом вероятно-стей (интегралом Лапласа); t = /; = t.

Значения интеграла вероятностей Таблица 1.1

Вероятность того, что случайная погрешность окажется за границами интервала , равна P[  <  ] = 1 – Ф(t). Ф(t), соответствующая данному доверительному интервалу , называется доверительной вероятностью, а значение  1 – Ф(t)  –  уровнем  значимости.  Доверительную  вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий. Часто пользуются дове- рительным интервалом от +3 до –3, для которого доверительная веро- ятность составляет 0,9973 или 99,73\%.Пример 1. Известно, что  среднее  квадратическое отклонение  равно  = 0,002. Определить вероятность того, что случайная погрешность измерения будет лежать в пределах доверительного интервала с границами  = 0,005 (0,5\%).Определяем t = /= 0,005/0,002 = 2,5. По таблице 1.2 находим доверительную вероятность Ф(t), соответствующую t = 2,5, т. е. Ф(t) = 0,9876. Уровень значимости1 – Ф(t) = 0,0124.

Значения доверительной вероятности и уровня значимости Таблица 1.2