Название: Инвариантно-параметрическое представление и обобщенная ассоциативная обработка символьной и смысловой информации(Токмаков Г. П)

Жанр: Информационные системы и технологии

Просмотров: 3093


2.2. симметрия как способ формализации системного подхода

Итак,мы выяснили, что для теоретического описания объекта, независимого от его конкретного применения, необходимо помимо его внешних свойств описать структуру и закономерности изменения его свойств и внешнего вида при вступлении во взаимоотношения с другими объектами РД, сохраняющие его качественную определенность. При этом будем считать, что любой объект представляет собой единство структуры, формы, свойств и допустимых преобразований. Это единство заключается в том, что в процессе реализации допустимых преобразований форма и структура объекта остаются неизменными, а свойства объекта претерпевают определенные изменения. Так как речь идет о моделировании произвольных объектов, поставленная цель требует вскрытия фундаментальных закономерностей РД, которые присущи всем формам существования материи. Именно такую закономерность вскрыл Ф. Клейн в своей знаменитой лекции "Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований", прочитанной в 1872 г. В этой работе Ф. Клейн выявил единую основу для описания всех геометрий (евклидовой, аффинной, проективной и т.д.). В основу этого объединения была положена теория групп, и каждая геометрия представляла собой определенную группу преобразований. Впоследствии выяснилось, что учение Ф. Клейна является мощным методом изучения пространства и движения в этом пространстве вообще и нашло широкое применение в физике [59], кристаллографии [60], химии [61], биологии [62], математике [63]. В последнее время появились работы в области ИИ, в которых также используются понятия теории групп преобразований и инвариантов этих групп преобразований [64,65,66,67,68]. Причем в работах [64,65] делается упор на описание объектов без учета их структур, а в [66,67,68] описываются структурные объекты.2.2.1. Теория симметрии как инструмент выявленияинвариантов относительно допустимых преобразованийТакую универсальность теоретико-группового подхода можно объяснить тем, что он предлагает формализацию понятия класса эквивалентных объектов для представления объектов в их единстве и многообразии и возможность вывода посредством математического аппарата этой теории всего многообразия объектов данного класса эквивалентности. Другими словами, теория симметрии (групп) является подходящим инструментом, когда, с одной стороны, требуется обеспечить компактность представления, а с другой - необходимый уровень полноты представления с тем, чтобы обеспечить возможность восстановления любого объекта класса по данному представлению. В нашем случае все те изменения объекта, которые имеют место при его взаимодействиях, можно рассматривать как преобразования, а изменения, не нарушающие целостность объекта, т.е. оставляющие неизменной его структуру или внутренние свойства, - как инвариантные преобразования или преобразования симметрии.Из теории групп известно, что совокупность G всех симметрических изменений (преобразований) образует группу. Именно в множестве G объекта всегда содержатся наряду с любыми "прямыми" изменениями^, "обратные" им А'1 и наряду с любыми изменениями А и В и результат их последовательного проявления - их "произведение" или новое изменение АВ, принадлежащее той же совокупности. Это означает замкнутость множества G на себя [69,70]. В работе [71] приведено обобщенное определение симметрии, базирующееся на следующих положениях.В основе этого определения лежит объект - носитель симметрии, без которого нет и не может быть и самой симметрии. Без указания объекта симметрии не удается интерпретировать определение абстрактной теории симметрии, что уменьшает его прикладное значение.Второе важное положение данного определения - это изменения объекта, но не любые, а такие, которые оставляют объект тождественным самому себе. Поэтому в теории такие изменения называются преобразованиями симметрии. Они являются основой, критерием строгой классификации объектов на классы, роды, виды.Третий основополагающий фактор теории - это некоторые признаки объекта, остающиеся неизменными при преобразованиях симметрии. В теории их называют инвариантами и они также являются критерием классификации групп объектов на подтипы.Поэтому определение симметрии можно перефразировать следующим образом. Симметрия - это категория, обозначающая сохранение признаков Р объектов О относительно изменений Г [71]. В данном определении можно усмотреть сходство с определением класса или типа объектов, обладающих общими свойствами, в котором в качестве объекта симметрии выступает именованный объект, заданный совокупностью своих свойств. Изменения представлены с помощью множества операций или так называемых функций доступа, которые изменяют состояние объекта. В качестве инвариантных свойств в данном определении выступает общая для всех объектов класса совокупность свойств. Слабым местом в традиционном определении класса, используемом в современном машинном моделировании, является определение инварианта, в качестве которого рассматривается случайным образом выбранная совокупность свойств, играющая роль структуры описываемого объекта.Структура как инвариант объектаВ традиционных применениях теорию групп рассматривают как инструмент выявления свойств инвариантности относительно допустимых преобразований. При этом сначала определяется аналитическое описание преобразований, а затем выявляются свойства, инвариантные относительно этих преобразований. Однако при машинном моделировании, где рассматриваются объекты самого широкого диапазона аналитический вид преобразований не может быть определен в принципе, поэтому требуются иные подходы описания теоретико-групповых конструкций.С целью выработки подходов, обеспечивающих использование теоретико-групповых конструкций при машинном моделировании РД, используем понятие предметной области, описанное выше и рассматриваемое как множество объектов, обладающих свойствами. Эти объекты, вступая во взаимодействие с другими объектами, меняют свои свойства, оставаясь при этом теми же объектами. Другими словами, объекты изменяясь сохраняются. Это говорит о том, что в объектах наряду с изменяющимися свойствами, определяющими многообразие его проявлений, имеют место и сохраняющиеся (инвариантные) свойства, задающие качественную определенность объекта. Рассматривая теорию систем,мы выяснили, что компоненты организуются в объект через устойчивую взаимосвязь значений некоторых их свойств, и именно эта взаимосвязь задает качественную определенность объекта, является его структурой и остается инвариантной при его всевозможных преобразованиях [49].Анализ и синтез объектов как варианты задач теории симметрииВ рамках системного подхода определение симметрии можно переписатькак:В качестве носителя симметрии принимается система как устойчивая взаимосвязь компонентов, определяющая ее качественную определенность.Каждая система обладает множеством конкретных реализаций, каждая из которых сохраняет качественную определенность данной системы, что можно рассматривать как действие допустимых преобразований на множестве реализаций данной системы.Факт сохранения качественной определенности системы для всех ее реализаций можно интерпретировать как наличие некоторого инвариантного начала во всех реализациях системы, и что в качестве этого инвариантного начала выступает структура, определенная в 2.2.2.Итак, теория симметрии предлагает описывать систему, ее стабильную структуру и изменчивые свойства через категории преобразований и инвариантов и установить между ними взаимосвязи. Теория симметрии предлагает эффективные средства - теорию групп преобразований и теорию инвариантов -как для нахождения по данному набору инвариантных признаков {Р}, всех сохраняющих эти Р изменений - множества {Т}, так и для нахождения по данному множеству изменений {Т} всех сохраняющихся относительно этих изменений признаков множества {Р}. Именно эти универсальные категории форм существования материи должны быть отражены в модели данных, независимой от специфики конкретного использования.Из определения симметрии видно, что ее можно рассматривать с двух сторон. При решении практических задач эта разница подходов трактуется как две глобальные задачи:Имея множество инвариантных признаков {Р}, далее искать число, вид сохраняющих эти Р изменений множества {Т} (группу преобразований); другими словами, имеются инвариантные структуры - требуется определить множество реализаций для каждой такой структуры или определить семейство преобразований на множестве ее реализаций; эта задача называется задачей синтеза.Имея совокупность изменений {Т}, далее искать число, вид всех сохраняющихся при этом признаков множества {Р} (теорию инвариантов); на языке теории систем это означает: имеется совокупность реализаций или множеств преобразований на множестве реализаций - требуется определить инвариантные структуры относительно этого множества преобразований; эта задача называется задачей анализа.Описание систем через категории преобразований внешних свойств и инвариантных внутренних свойств показывает, что между внутренними и внешними описаниями систем имеются глубокие взаимосвязи, и их учет имеет важное значение для адекватного описания РД. Отношения "часть-целое", отражающие иерархию связей объектов и их компонентов, пронизывают весь мир сверху донизу и охватывают объекты всех уровней сложности. Отношения "общего-частного", отражающие иерархию объектов образуемой общностью присущих им существенных свойств, столь же универсальны и глобальны, и в их основе лежит та же взаимосвязь компонентов объектов.