Название: Изучение распределения термоэлектронов по скоростям : методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Физика»(Э. Н. Старов.)

Жанр: Авиационные технологии и управление

Просмотров: 1012


Введение

 

Молекулярно-кинетическая теория рассматривает физические тела состоящими из множества атомов или молекул, у которых не- прерывно и хаотично изменяются скорости, импульсы и энергии.

Такие  сложные системы из огромного числа частиц изучаются статистическими методами. Одним из основных понятий такого ме- тода является понятие функции плотности вероятности f(x). Если имеется совокупность из N частиц, для которой случайным образом изменяется некая величина х, то f(x) определяет вероятность dP(x) то- го, что dN частиц из этой совокупности будут иметь величину х в

пределах от х до х+dx:

 

dP( x)  dN 

N

 

 

f ( x)dx.

 

 

(1)

 

Согласно смыслу выражения (1), функция плотности f(x) удов-

 

летворяет двум условиям:

 

 

f(x)≥0 и

 



 f ( x ) dx

 

 

 

 1.

 

 

(2)

 

Рассмотрим идеальный газ, находящийся в замкнутом объеме, температура которого поддерживается постоянной. В результате большого  числа  столкновений  установится  равновесное  состояние,

при котором число молекул в заданном интервале скоростей уже не изменяется со временем. Обозначим концентрацию молекул через n, тогда согласно равенству (1), число молекул dn в единице объема,

скорости которых заключены в интервале V, V+dV будет равно

dn  n  dP(V )  nf (V )dV.

 

(3)

Распределение молекул газа по модулю скорости описывается функцией плотности вероятности, впервые полученной Максвеллом:

 

m

 
3 / 2

         

 

         m V 2 

f (V )  4               0      

V 2 exp   0    ,

(4)

 2KT 

         2kT  

 

где m0 – масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана, T – темпе-

ратура по шкале Кельвина.

 

Смысл функции ясен из (3):

 

f (V )  dP 

dV

 

dn ,

ndV

 

 

(5)

 

т. е. значение функции численно равно плотности вероятности

 

( dP )

dV

 

того, что скорость молекулы попадает в единичный интервал скоро-

 

стей вблизи заданной скорости V.

 

Вероятность того, что скорость молекулы расположена в интер-

 

вале скоростей от V1 до V2:

 

n       V2

n

 
  f (v)dV.

V1

 

 

(6)

 

Вид функции показан на рисунке 1.

 

f(V)

 

Т=const

 

Vн       Vср

С         V

Рис. 1. Распределение Максвелла по скоростям

Из формулы (4) видно, что f(V) обращается в нуль при V=0 и

 

V→  ∞.  Из  условия  максимума

df (V )  0

dV

 

можно  найти  значение  VH

(наивероятнейшая  скорость)  при  котором  функция  принимает  наи-

большее значение:

 

 

VH   

 

2kT .

m0

 

 

(7)

Среднее значение скорости молекул с использованием функции плотности находится из равенства:

 

¥

Vcp = Vf(V)dV =

0

 

8kT .

πm0

 

 

(8)

 

Аналогично находится среднее значение квадрата скорости:

 

 

cp

 
(V 2 )

 

 V 2 f (V)dV 

0

 

3kT.

m0

 

Под среднеквадратичной скоростью понимают величину:

 

 

cp

 
C      (V 2 )   

3kT .

m0

 

(9)

 

С изменением температуры график функции изменяется так, что

 

площадь под кривой f(V) остается постоянной (так как

 f (v)dV  1,

0

т. е.

 

вероятность того, что скорость молекулы находится в интервале от 0

до ∞ равна единице). Максимум функции понижается и смещается

 

вправо, так как Vн ~ Т .

 

f(V)

 

 

Т1

 

Т2>Т1

 

Vн1     Vн2     V

Рис. 2. Распределение Максвелла для двух различных температур

 

Как видно из рис. 2 доля молекул

dn со скоростями  в интервале

n

 

V, V+dV при V>Vн   возрастает, а при V<Vн уменьшается.

В ряде случаев удобно ввести безразмерный параметр – относи-

 

тельную скорость

 

виде:

 

u  V VH

 

, тогда с учетом (7) формула (4) запишется в

 

f (u) 

 

2

 
4  u 2  eu  .

         (10)

 

Удобство этой функции распределения в том, что она не зависит от температуры и массы молекул газа. График f(u) приведен на рис. 3.

 

f(u)

 

1,0       0,83

0,8

0,6

 

0,4

0,2

 

0          0,4       0,8       1,2       1,6   2,0           2,4       u

 

Рис. 3. Распределение Максвелла для относительной скорости u  V VH