Название: Верификационные методы анализа оптимального управления процессами и системами(Попов П.М., Попов С.П.)

Жанр: Авиационные технологии и управление

Просмотров: 1025


1.4. оптимальное управление в линейных системах по быстродействию по принципу  максимума

 

Использование принципа максимума в задачах оптимального быстродействия приводит к краевой задаче для основной (1.26) и сопряженной (1.27) систем дифференциальных уравнений, решение которой представляет большие трудности. При этом приходится оперировать двумя (2n) неизвестными у1,

и двумя (2n) краевыми условиями, которыми являются

 

начальные значения векторов                                                   Начальные условия

известны, а значения            не известны и подбираются из условия удовлетворения граничным условиям на конце опти

мальной траектории. Общих правил подбора значений

не существует. Однако достаточно широкое применение в этих целях получил метод итераций. С помощью принципа максимума сравнительно просто оценивает характер оптимального по быстродействию управление. Для этого в соответствии с уравнением

 

составляется функция Гамильтона

Затем определяется уравнение, при котором обеспечивается ее максимум

 

 

Далее определяется, сколько раз изменяется знак управления. Поэтому на примере определения моментов переключения на основе стыкования управленческих решений рассмотрим следующую задачу, где расчет алгоритмов управления сводится к определению моментов переключения, которые зависят от многих факторов

 

- параметры объекта управления.

Для  определения  моментов  переключения  на  практике  часто  используют  метод

стыкования решений дифференциальных уравнений, применяя теорему об п интервалах.

Расчет             моментов       переключения            в          случае,            когда   объект             описывается             диф-

ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

 

 

а начальные и конечные условия представлены векторами

 

(1.29)

 

 

производится по следующей схеме:

1. Находится решение уравнения (1.29)

 

 

 

уравнения.

- отрицательные вещественные корни характеристического

2. Записываются составляющие вектора системы в фазовом пространстве на конце последнего интервала уравнения при

 

(1.30)

 

где Сn1 - постоянные интегрирования.

3. Определяются постоянные интегрирования из выражения (1.30).

4. Производится стыкование решений на границе последнего и предпоследнего интервалов

27

 

(1.31)

 

5. Система (1.31) решается относительно выражения

6. Определяются постоянные интегрирования     подста-

новкой            значения

 

7. Стыкуются решения на границе последующих интервалов и опреде ляются выражения

Далее производится стыкование решений и исключение постоянных интегрирования до

первого интервала.

8. Определяются С,' из начальных условий путем решения следующей системы уравнения

 

9. Приравнением значений

для  определения  неизвестных

находится система уравнений

10. Рассчитываются моменты смены знаков управления. Определив моменты переключения, при необходимости можно перейти к замкнутой форме управления, найдя синтезирующую функцию

 

В этом случае управление является не функцией времени, а функцией фазовых координат системы.

В таблице 1.1 приводятся функции оптимального управления для объектов, движение

которых описывается дифференциальными уравнениями до третьего порядка включительно. Для  этого  разберемся,  как  определить  оптимальность  управления  на  основе  метода фазового пространства, так как метод фазового пространства в сочетании с принципом максимума  получил  достаточно  широкое  применение  при  построении  оптимальных систем. Здесь движение управляемого объекта описывается дифференциальным [21] уравнением с постоянным коэффициентом

28

 

 

 

тановившегося режима.

 

 

- координаты объекта, представляющие отклонения от ус

(1.32)

Если объект находится в заданном положении, то выполняется условие

 

Следует заметить, что в соответствии с принципом максимума в рассматриваемом случае оптимальное по быстродействию управление является релейным

 

Задача синтеза оптимального управления методом фазового пространства сводится к нахождению уравнения гиперповерхности переключения в п -

мерном фазовом пространстве        и к определению надлежа

 

щего    направления переключения            реле.    Гиперповерхность    переключения            является односвязной и проходит через начало координат, а управление u{t) теряет свой знак на ее

поверхности

 

Гиперповерхности переключения в зависимости от структуры и параметров системы, а также внешних воздействий могут быть нестационарными, квазистационарными и стационарными. В настоящее время разработаны достаточно эффективные приближенные методы их определения. Для вычисления точек, принадлежащих гиперповерхности переключения, широко применяется метод «попятного движения».

Рассмотрим построение  оптимального  быстродействия на  основе  метода фазового

пространства системой второго порядка

 

Ставится задача определения управления, переводящего изображаемую

точку фазового пространства из начального положения в конечное у(Т) = у(Т) = 0 за минимальное время. При этом, согласно теореме об п интервалах,

должно быть не более двух интервалов управления.

 

Уравнение (1.32) представляется в виде

 

для построения фазовых траекторий исключается время t из системы (1.33)

 

и находится решение (1.34)

 

(1.33) (1.34)

29

 

Таблица  1.1 Дифференциальные уравнения функций оптимального управления

 

Уравнения фазовых траекторий при этом имеют следующий вид

Для различных начальных условий можно построить семейство фазовых траекторий (рис. 1.7), соответствующих положительному или отрицательному управляющему воздействию

 

Рис. 1.7. Фазовые траектории системы:

 

Рис. 1.8. Оптимальные траектории системы

 

Конечные участки оптимальных фазовых траекторий представляют дуги (кривые ао и со на рис. 1.8), описываемые уравнениями (1.35) или (1.36) и проходящие через начало координат. На рис. 1.8 видно, что переключение должно происходить при попадании изображающей точки на линию аос, которая называется линией переключения.

Синтезирующая функция     как следует из рис. 1.8, имеет сле

 

дующий вид

 

 

Уравнение обеих  частей линии  переключения можно получить  соответственно из выражений (1.35) и (1.3 6), положив

 

Если обозначить через          значение выходной координаты при нахож

 

дении изображающей точки на линии переключения, то сигнал на входе релейного элемента определится выражением

 

 

 

1.9).

Полученное уравнение позволяет синтезировать схему оптимального уравнения (рис.

 

 

Рис. 1.9. Структурная схема оптимального управления

 

В ряде случаев возможна реализация оптимального по быстродействию управления с помощью обратных нелинейных и даже линейных обратных связей (1.10).

 

 

Рис. 1.10. Система  оптимального управления с нелинейной обратной связью

 

Для системы с нелинейной обратной связью, представленной на рис. 1.10, можно записать

 

Полученный алгоритм может быть аппроксимирован и реализован с помощью функционального преобразования. При неизменных граничных условиях возможно применение линейных обратных связей. В случае у20 = 0 коэффициент усиления обратной связи определяется выражением

 

 

 

смены знаков управления.

- скорость изменения выходной координаты в момент

В заключение следует отметить, что задача построения оптимальных управлений системами третьего и более высоких порядков методом фазового пространства оказывается сложной. В связи с этим в ряде случаев целесообразно ограничиться синтезом квазиоптимальных систем управления.