Название: Верификационные методы анализа оптимального управления процессами и системами(Попов П.М., Попов С.П.) Жанр: Авиационные технологии и управление Просмотров: 1231 |
1.3. анализ оптимального управления по принципу максимума
При использовании принципа максимума движение объекта управления (системы управления) обычно представляется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача оптимального управления сводится к отысканию таких управлений, удовлетворяющих наложенным ограничениям, которые одновременно с переводом объекта (системы) из одного положения в другое обеспечивают экстремум выбранного функционала качества. При этом задача может решаться применительно к автономным и неавтономным системам управления. Рассмотрим задачу оптимального управления автономной системой, для чего сначала сформулируем определение этой системы. Итак, система называется автономной, если правые части дифференциальных уравнений, описывающих ее движение, явно не зависят от времени. Функционал качества в этом случае выбирается в виде интегрального выражения
удовлетворяющей условию y0=0 при t=10. В соответствии с выражением (1.23) к системе (1.22) добавляется еще одно уравнение
позволяет объединить основную и сопряженную системы уравнений одной записью
Для дальнейшего анализа оптимального управления по принципу максимума, рассмотрим его основную теорему, которая основывается на системе дифференциальных уравнений (1.22). Пусть u(t) является управлением, приводящим изображаемую точку из начального положения y(tо) в конечное V V положение у(Т) a y(t ) - соответствующая этому управлению траектория. Ес-
V V ли u(t} оптимально, то найдется такая ненулевая вектор-функция ф(t), соот-
![]() времени, находящийся в заданном интервале (tоT),
в любой момент
(1.28)
в любой момент времени.
Выражения (1.25) и (1.28) позволяют дать геометрическое пояснение принципа максимума. Величина Н является скалярным произведением векторов Ψ и у, поэтому направление движения изображающей точки при оптимальном управлении олжно быть таким, чтобы векторы Ψ , у являлись ортогональными. Следовательно, вектор обеспечивает направление движения изображающей точки в фазовом пространстве. Далее, анализируя систему дифференциальных уравнений (1.22), рассмотрим управление неавтономной системой и в каком случае управление неавтономной системой может быть оптимальным.
где у1 (Т) - заданные функции времени. Задача оптимального управления в этом случае может быть сведена к задаче с заданной точкой, если рассматривать движение системы в фазовом пространстве ошибки
Задача оптимального быстродействия является частным случаем задачи с закрепленными концами. Задача состоит в том, чтобы среди всех допустимых
V управлений определить такие u(t), которые переводят изображаемую точку из одного
где T0 и Т - время начала и конца управления. В случае оптимального быстродействия выражение для функции Гамильтона
Поскольку во время управления ф0 = const. то достаточно рассмотреть
V Как и прежде, вектор Ψ определяет направление вектора скорости. Однако в этом случае векторы Ψ и и могут быть неортогональными. V При определении оптимального управления u(t) решаются совместно основная (1.26) и сопряженная (1.27) системы уравнений. Для задач с закрепленными концами фазовых траекторий наряду с подбором управления u(t)максимизирующего функцию H1(y,ф,u) в каждой точке оптимальной траектории, необходимо знать начальное состояние объекта y1(to), y2(t0),..., уn(t0) и начальное значение вспомогательного вектора ф1(tо), ф2(ео),...., Ψn(tо). Вектор y(to) задается условиями задачи, а вектор ф(tо) заранее неизвестен. Составляющие вектора, Ψ 1(t0), где j= 1,2,...,и, необходимо подобрать таким образом, чтобы оптимальная траектория прошла через заданную концевую точку у1(T), у2(Т) ,..., уn(T). Для задач с подвижными концами граничные положения фазовой точки определяются из условий трансверсальности. Условия трансверсальности для левого и правого концов фазовой траектории определяются ортогональности V V векторов Ψ (tо) и Ψ (Т) соответственно касательными векторов многообразий, связывающих
Условия трансверсальности дают дополнительные соотношения, необходимые для определения начальной и конечной точек фазовой траектории. Из принципа максимума вытекают следующие основные положения теории оптимальных быстродействий: 1. Оптимальные системы управления являются системами релейного типа;
|
|