Название: Верификационные методы анализа оптимального управления процессами и системами(Попов П.М., Попов С.П.)

Жанр: Авиационные технологии и управление

Просмотров: 978


1.2. использование методов классического вариационного исчисления для анализа оптимального управления процессами  и системами

 

Все методы вариационного исчисления позволяют найти условия, при которых достигается экстремум критерия оптимальности, записанного в виде некоторого функционала. Эти условия получаются в виде некоторой системы уравнений относительно уравнения и фазовых координат объекта. Решение этой системы, удовлетворяющее граничным условиям, определяет оптимальное управление и оптимальную траекторию изображающей точки объекта управления в его фазовом пространстве [9].

При     записи            условий          существования           экстремума     функционала используются

следующие понятия и определения:

 

1. Функционал - переменная величина I, зависящая от функций

 

(1.5)

 

если каждой из функций (1.5), взятой из некоторого класса этих функций, соответствует  определенное  значение  функционала  /.  Такая  зависимость  записывается  в виде

 

(1.6)

 

2. Приращение, или вариация, δи1 аргумента u1(t} функционала (1.6) есть разность

функций

 

где u(t) - новая, произвольно выбранная функция из класса функций u1(t).

 

3.  Близость  двух  функций  характеризуется  определенным  порядком   близости.

Например, функции u1(t) и u1(t) близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности           мал (рис. 1.2,а).

 

 

Рис. 1.2. Функции нулевого (а) и первого (б) побгдков близости: А и -граничные точки

Функции  u2(t)  и  u2(t)  близки  в  смысле  близости  первого  порядка,   если  модули разностей

4.

 

Функционал   (1.6)

называется непрерывным при  и10(t) в  смысле близости  k-го  порядка, если для любого положительного (E ) можно подобрать

 

При этом полагается, что функция u1(t) берется из класса функций, на котором функционал (1.6) определен.

5. Приращение функционала (1.6), соответствующее вариациям аргументов

 

(1.7)

Если функционал (1.6) имеет в некоторой области непрерывные частные производные второго порядка, то его приращение (1.7) может быть разложено в ряд Тейлора и представлено в виде

14

 

(1.8)

 

0 (p) - остаточный член.

Представление приращения функционала (1.6) в форме (1.8) позволяет достаточно просто определить вариации функционала.

6. Если приращение функционала AI может быть представлено рядом Тейлора (1.8),

то  линейная  по  отношению  к  вариациям  аргументов  часть  приращения  функционала называется первой вариацией функционала и записывается в виде

 

7. Второй вариацией функционала (1.6) называется функция

 

Необходимым  условием  существования  экстремума  непрерывного  функционала является равенство нулю его первой вариации

(1.9)

15

 

Если при этом достигается минимум функционала, то наряду с выполнением условия

(1.9) должно выполняться необходимое условие:

 

а в случае достижения максимума — условие

 

Приведенные необходимые условия существования экстремума функционала справедливы, если непрерывный функционал определен на открытом множестве функций (на открытой области некоторого функционального пространства) или если экстремум функционала реализуется функциями, не принадлежащими границе множества, когда функционал определен на замкнутом множестве функций. Особенности определения необходимых условий существования экстремума функционала в случае, когда этот экстремум реализуется функциями, частично и полностью принадлежащими границе множества, на котором этот функционал определен, приведены ниже.

В          подавляющем            большинстве случаев           критерий        оптимальности          систем

автоматического управления записывается в виде интеграла. В частности, он может быть записан так

 

где

 

Если подынтегральная функция

 

непрерывна по совокупно

 

сти ее аргументов и существуют все ее частные производные до третьего порядка включительно,  то необходимые условия экстремума функционала (1.10)  записываются в виде системы дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа

 

(1.11)

 

Условие (1.11) эквивалентно условию (1.9). Поэтому только на интегральных кривых уравнений Эйлера-Лагранжа, удовлетворяющих граничным условиям

 

(1.12)

 

может реализоваться экстремум (1.10).

16

 

 

Рис. 1.3. Экстремаль  с уг-

ловыми точками

Рис. 1.4. Задача перехвата ракеты В ракетой  А за минимальное время

 

 

Интегральные кривые уравнения Эйлера-Лагранжа называются экстремалями. Экстремали, удовлетворяющие граничным условиям, определяются путем решения краевой задачи. Следует учитывать, что решение не всегда существует, а если и существует, то может быть не единственным. Однако в очень многих задачах синтеза оптимальных систем управления из физического или геометрического смысла задачи достаточно просто устанавливаются существование решения, его единственность и то, что оно реализует минимум критерия оптимальности. В этом случае экстремали, удовлетворяющие гранич- ным условиям, есть решение оптимальной задачи.

Если же существует несколько решений уравнений (1.11), удовлетворяющих граничным условиям (1.12), то путем вычисления значений критерия оптимальности на каждом из полученных решений выбирается то из них, на котором критерий достигает минимума.

Экстремум  функционала  (1.10)  может  достигаться  не  на  гладких,  а  на  кусочно-

гладких экстремалях с конечным числом угловых точек.

 

Угловыми точками называются точки, в которых экстремали непрерывны

 

а производные от экстремалей терпят разрывы первого рода (рис. 1.3).

 

где tk - абсцисса k-и угловой точки;

 

 

соответственно левые и правые пределы экстре малей и их производных в k -и угловой точке [29].

Если экстремум функционала реализуется на экстремалях с угловыми точками, которые называются ломаными экстремалями, то в каждой угловой точке должны выполняться условия Вейерштрасса-Эрдмана

 

В теории оптимальных систем возникают задачи, когда одна или обе граничные точки экстремалей перемещаются по определенному закону. Например, ракетой А (рис. 1.4) надо управлять так, чтобы уничтожить ракету В за минимальное время. Ракета А запускается с самолета. Очевидно, что в этом случае могут быть заданы только начальные условия (координаты ракет А и В, значения их скорости, ускорения и т.д. в момент старта) и не могут быть заданы граничные условия, то есть указанные выше параметры в момент встречи двух ракет, так как последние зависят от искомого минимального времени сближения ракет А и В [47].

Подобные задачи в вариационном исчислении называются задачами с подвижными концами или границами (а выше рассматривалась задача с закрепленными концами).  В таких задачах необходимые условия существования экстремума функционала (1.11) должны быть дополнены условиями

 

если не задан закон перемещения концевых точек, или

 

(1.13)

 

 

где ф^ - закон перемещения концевой точки экстремали у, {to) , в - закон перемещения концевой точки экстремали у,{Т) .

Условия (1.13) носят название условий трансверсальности. В большинстве случаев при синтезе оптимальных систем возникают задачи минимизации критерия оптимальности при дополнительных условиях, наложенных на координаты объекта управления и на граничные условия. В классическом вариационном исчислении такие задачи получили название задач на условный  экстремум.

Простейшая задача на условный экстремум формулируется так:  требуется исследовать на экстремум функционал (1.10) при условии,  что экстремали, на которых реализуется  минимум  функционала,  должны  удовлетворять  системе дифференциальных уравнений

 

 

которую называют системой уравнений связи.

Эта задача решается путем преобразования функционала (1.10) к виду

(1.14)

 

(1.15)

 

 

- неопределенные множители Лагранжа, и исследования нового функционала (1.15) на безусловный экстремум.

Необходимые  условия  существования  безусловного  экстремума  функционала

(1.15) и, следовательно, условного экстремума функционала (1.10) имеют вид

 

(1.16)

 

 

 

где система (1.16) - система уравнений Эйлера- Лагранжа, а система (1.17) -система дифференциальных уравнений связи.

(1.17)

Условия (1.16) и (1.17) состоят из (2п+т) уравнений относительно

 

и, следовательно, по

 

зволяют определить эти неизвестные функции. Решения системы уравнений (1.16) и (1.17) будут содержать 2(2n+m) неизвестных постоянных интегрирования. С помощью 2(2п+т) граничных условий, заданных для экстремалей u1(t) и y,(t) можно определить 2(2n+m) произвольных постоянных интегри-

 

 

рования. Остальные In постоянных интегрирования находятся путем подбора In незаданных граничных условий для множителей Лагранжа Аj таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для функций u1(t) и у1(t).

Иногда при решении вариационных задач на условный  экстремум  воз-

никает необходимость выбора из класса кусочно-гладких вектор-функций u(t),

V

y(t} тех, которые доставляют экстремум функционалу

 

и удовлетворяют уравнениям связи (1.14) и условиям на концах

 

Такую задачу называют задачей Больца [27,31].

Применение методов классического вариационного исчисления для решения задач

синтеза оптимальных систем связано с рядом трудностей. Во-первых,  трудности возникают из-за того, что в реальных системах допустимые управляющие воздействия принадлежат замкнутому множеству функций, то есть удовлетворяют условиям

 

где  М^,М^,...,М^ -  заданные  константы,  и  системы   с  ограничениями  на  координаты объекта управления и с ограничениями на возмущения, и чаще всего наилучшие результаты получаются в том случае, если оптимальные управления выбираются из числа функций, частично или полностью принадлежащих границе этого множества. Например, управляющее напряжение на входе оптимального по быстродействию электропривода, динамика которого описывается дифференциальным уравнением второго порядка, должно изменяться так, как это показано на рис. 1.5. При этом оказывается, что минимум критерия оптимальности,    являющегося   функционалом   от    управления   u[t),    достигается   при

|u(t)|=М=const,  хотя при этих условиях первая вариация функционала не равна нулю (рис.

1.6).

Во-вторых,  если оптимальное управление принадлежит к классу кусочно-постоянных функций с конечным числом точек разрывов первого рода, как например, управление, изображенное на рис. 1.5, то это создает значительные вычислительные трудности при определении алгоритма управляющего устройства оптимальной системы [45].

Первая трудность преодолевается путем замены замкнутого множества допустимых

управлений открытыми. Такая замена может быть осуществлена, в частности, с помощью

«функций штрафа» или функций, предложенных Мье-ле.

 

 

Рис. 1.5. График изменения напряжения на входе оптимального по быстродействию электропривода

 

 

Рис. 1.6. График зависимости величины функционала I(u) от модуля

управления и(t)

В первом случае при использовании «функций штрафа», в критерий оптимальности вводится дополнительная функция от управления, которая вызывает резкое увеличение критерия,  если  управление  превышает  допустимое  значение,  то  есть  «штрафует»  за

«нарушение».  Если  на  управление  наложено  ограничение  (1.19),  то  «функция  штрафа»

может быть выбрана в виде (1.20), то есть

 

(1.19)

 

то

 

(1.20)

 

Используя  функцию  (1.20),  можно  методами  классического  вариационного исчисления определять условия существования минимума критерия оптимальности и в случае, когда оптимальное управление выбирается из замкнутого множества допустимых управлений.

Во  втором  случае  при  использовании  функций  Мьеле  ограничение  вида  (1.19)

учитывается с помощью замены управления u(t) функцией

 

(1.21)

 

 

Сведения о методах классического вариационного исчисления, приведенные выше, позволяют дать математическую постановку задачи определения алгоритма управляющего устройства различных типов оптимальных систем управления.