Название: Новые технологии в авиастроении: Сборник научных трудов (П. В. Дубровский)

Жанр: Авиационные технологии и управление

Просмотров: 869


Об эквивалентности вариационных принципов динамики  вязкоупругого тела с распределёнными параметрами и проекционных методов  в весовых функциональных пространствах соболева

 

В предлагаемой работе рассматривается модернизированное функцио- нальное пространство Соболева, встречающееся в динамике вязкоупругих сис- тем с распределенными параметрами, а также необходимые требования к сис- теме координатных функций, обеспечивающие сходимость проекционных ме- тодов. Указывается, в каких случаях имеет место эквивалентность вариацион- ных методов и проекционных методов в пространствах Соболева.

Во многих задачах механики и математической физики целесообразно вводить обобщенные решения дифференциальных уравнений в частных произ- водных и их обобщенных производных. Это приводит к понятию пространств

Соболева. Пусть Ω замкнутое в R n

с границей   и пусть Ω липшицево мно-

жество.           Размерность   множества               равна  n-1.      Элементы

x, y ∈ R n

: {x  ( x1 , x2 ,..., xn ); y  ( y1 , y2 ,..., yn )}.

Лебегова         мера    на

R n       будет

dx  dx1 ...dxn

и  d

представляет меру границы  .

Введем банахово пространство W m , p (Ω) с нормой

|| u

 

||         =

 
W m , p ( Ω )

∑ || D

[ ]≤ m

u ||

p

 
L  ( Ω )

(1)

как пополнение пространства непрерывных функций в метрике (1),

1 ... n

 

где

D u  D1 ...D n u    ∂

u  ,  

 

 

,...,

 ⊂ N n ,

 

[ ]  

 

 ...   ,

1          n          ∂x

1 ...∂x n      1          n          1          n

 

1 ≤ p ≤ ∞ ,

1          n

m ∈ N .

Пространство

W m , p (Ω)

с нормой (1) называется пространством Соболева.

При

p  2 , W m , 2 (Ω)  H m (Ω)

представляет собой гильбертово пространство со

скалярным произведением :

m

 
(u, v)    

H   ( Ω )

∑ (D

u, D

v) .       (2)

[ ]≤ m

Подобно тому, как наряду с гильбертовым пространством лярным произведением

(u, v)  ∫ u( x)T v( x)dx ,

 

L2 (Ω)

 

со ска-

вводится пространство

L2,  (Ω) со скалярным произведением

 

(u, v)

 ∫ (  ( x)u( x))T v( x)dx ,

модернизируем выражение (2) и введем весовое скалярное произведение :

 

137

  Об эквивалентности вариационных принципов динамики вязкоупругого тела ...    

 

m

 
(u, v)    

H   ( Ω )

∑ (D

u, D

v) 

,           (3)

 

где

 

(D u, D v)

[ ]≤ m

á

 
          ∫

 

[ 

 

( x)D u( x)]T D v( x)dx .

При этом в некоторых случаях

 ( x)  0 .

ñ

 
Оказывается, что пространство H m (Ω)

со  скалярным произведением (3)

ñ

 
характерно для вариационных методов механики сплошных сред и, в частно-

сти,  для  задач вязкоупругости. Пространство

H m (Ω) для

1   0 , m  2

пред-

ñ

 
ставляет собой энергетическое пространство, введенное С. Г. Михлиным, кото-

рое также является гильбертовым. Свойства пространства

H m (Ω) известны и

переносятся на

H m (Ω) .

ñ

 
В предложенной работе обсуждается связь функционалов, которые имеют место при вариационном решении нестационарных задач динамики вязкоупру- гого тела, с пространствами Соболева. Указанные пространства возникают ес- тественным образом при установлении условия стационарности смешанного функционала, аргументами которого являются преобразованные по Лапласу обобщенные перемещения и обобщенные силы.

Уравнения динамики линейной вязкоупругой системы в операторной фор-

ме можно записать следующим образом:

 

D  R

∂ 2 u

∂t 2

 T ∂u − f

∂t

 

 0,

 

(4)

CD *   C D*  ∂u   .

1          ∂t

Здесь   –  вектор  обобщенных  сил  или  тензор  напряжений;  u –  вектор обобщенных смещений; R – матрица инерционных характеристик или удельная

масса; T – матрица внешнего рассеяния энергии;  f – вектор-функция внешних

нагрузок; C и C1 – соответственно матрицы или тензоры упругих постоянных и коэффициентов внутреннего трения.

Граничные условия:

n    f s

на S1 ,

 

(5)

nu u  us

на S 2  ,

где

n и

nu – соответствующие операторы статической и геометрической совме-

стности на поверхности тела;          f s – нагрузки на участке поверхности  S1 ;            us –

граничные перемещения на S2 .

Условия совместности на границах конечных элементов:

n 

 n −    0

на S '  ,

 

1

 

2

 
(6)

nu  u

 nu − u−

на S '  .

Знаки «+» и «–» соответствуют различным сторонам границы сопряжения эле-

1 U

 

S

 

2

 
ментов S '  S '          '  .

 

138

АВИАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

 

Начальные условия:

 

∂u u t 0  a0 , ∂t

 

 

t 0

 

 a1

 

.           (7)

Операторы D и D* сопряженные в смысле Лагранжа:

 

 D T udV 

 

 T D*udV −

 

 u dS ,           (8)

∫           ∫           ∫           s   s

v          v          s

s                ó                     s                u

 
где     n  ; u   n u ; V – объем конечного элемента.

1 U 2

 
В общем случае граница элемента S  S1 U S2 U S '        S '  .

Для пространственного тела:

D      ∂

1       ∂

; D*              

∂  

             ,

∂ k

2  ∂ j

∂i 

где  k – пространственные координаты;   ij ; u  ui ; n  ni ;

Условие (8) может быть записано в следующем виде:

c  cijkl .

∂          1  ∂u

∂u j 

∂á

 

2      ∂á        +

 
− ∫        ij ui dV

V         i

 ∫ ij

V

            i          

         j

 dV

∂á

 
i 

− ∫ ni ij u j ds .

S

Тогда   ni ij   f j

на        S1 ,      ui

 usi

на        S2        –          граничные      условия;

'           ' , где  n

 −n

,   '    

−       ,  u        u

 

или

ni  ij 

 ni − ij −  ni ij

'

 0  на  S1

i           i −

ij          ij 

ij −                   −

u'  u  − u−  0 на  S2

– условия совместности на границах элементов.

Операторные уравнения (4), граничные условия (5) и условие совместно- сти (6) справедливы для стержней, пластин и оболочек. Поэтому обсуждаемые здесь методы универсальны для всех прикладных задач линейной вязкоупруго- сти.

Например, при продольных колебаниях прямых стержней:   N – про-

дольная сила; u – продольное смещение; R   – масса единицы длины стерж-

ня; C  EF – жесткость стержня при растяжении и сжатии;

D − ∂

∂x

 

; D  − D* ;

∫ Du

− D*u dx 

l 

∫  −

∂N u −

N ∂u dx

 

 −N u

 

0

 
− N  u0

  −

 

l ul

  u ,

l           0       x          x 

l

 

l

 

l

 

0

 

0

 
где l – длина стержня; 

 N l ; ul

 ul ;  0   − N 0 ; u0   u0 .

При поперечных колебаниях прямолинейных тонких стержней:    M –

изгибающий момент;  R  – масса единицы длины;  u  w – прогиб стержня;

f   q x, t  – интенсивность распределенной нагрузки;  C  EF – жесткость при

изгибе;

2

 
D  D*   ∂    ;

∂x 2

 

139

  Об эквивалентности вариационных принципов динамики вязкоупругого тела ...    

 

∫ (Dóu − óD*u)dx = ∫  ∂

 

l        2

 

2

 
         M w − M ∂

w

 dx 

l           0 

∂x 2

∂x 2 

 ∂Ml  w

− ∂M0  w

− M  ∂wl   M

∂w0

 

 − u

 

  u ,

∂x        1

∂x        0          1   ∂x

0   ∂x

l   l        0  0

где  l

 −Ql , M l  ,

 0  Q0 ,− M0 

– соответственно векторы усилий в конце и

начале стержня;

Q   ∂M l

l           ∂x

 

, Q0

 ∂M0

∂x

 

– соответствующие перерезывающие силы;

uT   w , ∂wl  , uT

  w

, ∂w0 

 

– векторы обобщенных перемещений, ком-

l

 

l

 

0

 
         

         ∂x 

         

0

 
         ∂x  

 

понентами которых являются прогиб и угол поворота в конце и начале стержня.

 

Преобразуем по Лапласу уравнение (4), граничные условия (5) и условия совместности (6):

0

 
D  Rp 2  − pa

 

− a1

  T  pu − a   −  f

 

 0,

 

 

(9)

1

 

0

 
C  C

pD * u − C D * a

  .

 

1

 

0

 
n    f s

на S1 ,

 

(10)

nu u  u

на S 2  ,

 

n  

 

 n − −

 

 n 

 

1

 
на S '  ,

 

 

(11)

nu  u

− nu − u−

 n u ©    0

u

 

на S '   ,

2

 

где

u  u p ,

u p  ∫ ut e− pt dt ,

0

   p ,

 p  ∫ t e− pt dt .

0

Справедлива следующая теорема [3,4]: Уравнения (9), граничные условия (10) и условия совместности (11) для обобщенных перемещений и обобщенных сил вязкоупругого тела, преобразованных по Лапласу, эквивалентны условию стационарности следующего функционала:

 
e p   1

2 V

D  p 2 Ru  pTu − 2 f

 

 pRa0

 

 Ra1

 

 Ta0

T  udV 

 

1

 

0

 
 1   T D*u − C *−1 − 2C *−1C D* a

2 V

dV  1 ∫

2 S

 
1

 

ó

 

S

 
n  − 2 f

 

u

 

1

 
T  n udS  −

 

(12)

− 1       n

 

 T n u − 2u

dS   1

n  © T  n udS ©  − 1

 

n  T  n u © dS © ,

2

 
∫                    u

S 2

S          2          ∫           

S

 
©

1

u          1          ∫                    u          2

S

 
©

2

2

 

2

 
где C*  C  C1 p ;  V – объем элемента, на которое разбито тело.

 

140

АВИАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

 

Функционал (12) обобщает результаты работ [1, 2] на задачи вязкоупруго- сти. Кроме того, здесь символ суммирования по элементам, следуя Прагеру [2], опущен.

Вариация функционала (12) имеет вид

e p  

∫ D

V

 p 2 Ru  pTu −  f

 

 pRa0

 

 Ra1

 

 Ta0

T udV 

1

 
 ∫  T D *u − C *−1

V

− C *−1C D * a

dV 

∫ n   −

ó

 
S1

f  T  n udS  −

 

(13)

u

 

0

 

S

 

1

 
−          n

 T n u − u

dS  

n   ' T  n udS '   −

n  T n u ' dS ' .

∫                    u

S 2

S          2          ∫           

S

 
©

1

u          1          ∫                    u          2

S

 
©

2

 

Принимая во внимание, что вариации u и  в области V , на поверхно-

'           '

стях S1 , S2 , S1 , S2

независимы, получаем преобразованные по Лапласу уравне-

ния (4), граничные условия (5) и условия сопряжения (6) или соответственно уравнения (9), условия (10) и (11).

Рассмотрим случай одного независимого поля. Следуя вариационному методу, будем искать решение в форме

 

m         m

u  ∑  j u j ,   ∑  j C*u j

 C1 D*a0 .       (14)

j 1

j 1

 

Вариации u и  будут

 

m         m

u  ∑  j u j ,   ∑  j C* D*u j .   (15)

j 1

j 1

 

Выполнив соотношение вязкоупругости и удовлетворяя условиям совме- стности деформаций на границе между элементами, принимая во внимание ус- ловие (8), выражения (14) и (15), получим, согласно (13):

1

 

0

 
∫ C * D *u − C D* a

V

 

T

 

j

 
T  D  u

 

 p 2 Ru  pTu −  f

 

 pRa0

 

 Ra1

 

 Ta0

 

T  u

dV −

 

j

 
(16)

− ∫ f S  nu u j dS1    0,

S1

j  1, m.

 

Уравнения (16) – обобщенная форма уравнений метода конечных элемен- тов, основанного на узловых перемещениях. Число таких уравнений равно чис- лу узловых перемещений или, иными словами, числу степеней свободы N дис- кретной модели.

Из уравнения (15) получаем соответствующие выражения для матриц же-

сткостей, рассеяния энергии, масс и нагрузочных членов:

 

141

  Об эквивалентности вариационных принципов динамики вязкоупругого тела ...    

 

 

Cij

 ∫ CD *          T V

 

u

 

i

 

*

 
D u j dV ,

 

bij

 ∫ C1 D          i 

u

 

*

 

T

 
V

 

*

 
D u j dV ,

 

T

 
(17)

b*   ∫ Tu

 u j dV ,

ij          i

T

 
V

 

mij

 ∫ Rui 

 

u j dV ,

 

f j   

V

∫  f

V

 

 pRa0

 

 Ra1

 

 Ta0

 

T u

 

j dV 

 

0

 
∫ CD * a

j

 
V

 

T  D*u

 

j dV 

S

 
 ∫ f T u

S1

j dS1  

f   p 

f1 j  

 

f 2 j p.

 

Уравнения движения (16) могут быть записаны в виде одного матричного уравнения

 Mp2  Bp  Cq 

 

f  p 

 

f1 

 

f 2 p

 

,           (18)

 

где

M   m                ,

B  b       ,  C 

cr , s  r , s 1, N

∈ R N  N

– соответственно мат-

r ,s

r ,s 1, N

r ,s

r ,s 1, N

рицы масс, рассеяния энергии и жесткостей. Причем элементы этих матриц

mr ,s ,

br ,s ,

cr ,s

равны нулю, если индексы r,s принадлежат разным элементам.

При r  s

осуществляется суммирование по всем элементам, сходящимся в уз-

ле. Сказанное относится к выражению

f  p ,  f1  и  f 2 . q ∈C N 1 – вектор преоб-

разованных по Лапласу узловых перемещений;

f  p  ∫

V

f T u

j dV  ∫

S1

T

S

 

f   u

 
Sj

dS1

∈ C N 1 ,

j  1, N

–  преобразованный  вектор  возму-

 

щающих сил;