Название: Новые технологии в авиастроении: Сборник научных трудов (П. В. Дубровский)

Жанр: Авиационные технологии и управление

Просмотров: 869


Модель  адаптивной  стабилизации намагниченного спутника

 

В качестве модели намагниченного спутника воспользуемся моделью, предложенной Белецким В. В. и Хентовым А. В. в [1], сняв в ней условие по- стоянной намагниченности спутника вдоль оси динамической симметрии, так как в этом случае не выполняется условие наблюдаемости.

Уравнение движения :

 

dy  Y

dt         I

 

 

( y)

 

 

,           (1)

 

где

 

y  y( y1 ,.., y6 )

 

-  фазовый  вектор  проекций  угловой  скорости  вращения

спутника на его главные центральные оси симметрии и направляющих косину- сов, определяющих положение оси Y геоцентрической системы по отношению к главным центральным осям симметрии.

Фазовые  координаты  имеют  следующие выражения через  углы  Эйлера

ϕ , ,

 

y1

и производные от них:

 

 & sin  sin ϕ − & cos ϕ 

y2   & sin  cos ϕ  & sin ϕ 

y3   ϕ&  & cos

 ,       (2)

4

 
y   sin  sin ϕ           

5

 
y   sin  cos ϕ          

6

 
y   cos        

 

которые в случае регулярной прецессии при установившемся движении суть:

 

ϕ&  

 

 &  0,

 

&  C1   const,

 

 

3

 
(3)

  C2

 const,

ϕ  C   const.

 

Рассмотрим возмущенное движение, считая что оно также описывается (1),

но при действии управляющего воздействия

v  v(t, x) .

Возмущения вводим следующим образом:

 

xs   y s   −

f (t )

(s  1,6)

.           (4)

 

Здесь

f (t )

некоторое частное решение (1) .

 

Уравнение возмущенного движения получаем в виде

 

102

АВИАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

 

dxi

dt

6

 ∑ aij x j

j 1

 

 bi v  Ri (t, x, v)

 

( j  1,6)

 

,           (5)

где

Ri (t, x, v)

- члены не ниже второго порядка.

 

Управление

v(t, x)

будет осуществляться регулированием напряжения в

магнитной катушке, расположенной на спутнике. Это управление будет рабо-

тать для компонентов вектора

x(t ) , соответствующих проекциям угловой ско-

рости вращения спутника. Вектор B имеет вид

 

=

 

 
B            2 y6

 

3

 
−  y   

5  ,  3

A

 

1

 

4

 
y  − 

B

 

ò

 

2

 
y6 ,  1 y5  − 

C

 

 
y4 ,0,0,0 ,     (*)

где

A, B, C - главные центральные моменты инерции спутника;

 , , - направ-

1      2       3

 
ляющие косинусы;

y4 , y5 , y6

- компоненты частного решения системы (1).

В случае возмущенного движения частному решению дет соответствовать

 

f (t )

 

системы (1) бу-

x  0 . (6)

 

Для  устойчивости  последнего  достаточно  обеспечить  асимптотическую устойчивость системы первого приближения для (5).

Вводим критерий качества:

 

 
∞         ∞         6

 
         

 

2          2 

J           ∫  ( x, v)

0

∫  ∑ xi

0          i 1

v  .    (7)

 

На основе теоремы Красовского Н.Н. об оптимальной стабилизации [3] для

нахождения

vопт , решающего задачу оптимальной стабилизации для (6) в силу

системы первого приближения для (5) при критерии качества (7), получаем систему:

6    ∂V   6

         6          2          2          

∑ ∂       ∑ aij x j

 bi v   ∑ xk    v

 0

i 1

xi   j 1

         k 1

 .       (8)

 
∑ ∂V b  2          0      

6

i

 
v

i

 
i 1  ∂x            

Здесь V (t, x)

- функция Ляпунова, которую берем в виде квадратичной формы:

 

 

V (t, x) 

6

∑ d ij (t ) xi x j  .           (9)

i , j 1

Существование

vопт

зависит от  возможности нахождения ограниченных

функций

мы (8).

d ij (t ) , таких, что (9) будет определенно положительной в силу систе-

 

 

103

Модель адаптивной стабилизации намагниченного спутника

 

Подставляем в первое уравнение системы (8) выражение для v из второго

уравнения и, приравнивая коэффициенты при

xi x j

нулю, получаем для нахож-

дения

 

6

d ij :

 

6          6

+ d

 
∑ (d ki k 1

6

akj

kj aki

 

6

) − ∑ d ni bb n 1

6

∑ d

m 1

mj bm

 0

 .       (10)

2∑ d ki aki   1 − ∑ d ni bb ∑ d mi bm   0       

k 1

(d ij

 

 d ji )

n 1

m 1   

 

Коэффициенты

d ij

находятся методом Репина Ю.М., Третьякова В.Е. [3].

При этом

d ij

суть числа:

 

d           lim d * (t ) ,  (11)

ij          t →∞   ij

ij

 
где

d * (t )

- частное решение системы.

 

 

ij

 
d (d * )

 

dt

 

6

ki

 
 ∑ (d *

k 1

 

akj

 

+ d

 

a

 
*

kj     ki

 

6

) − ∑ d

n 1

 

b

 
*

ni    n

 

6

∑ d

m 1

 

b

 

 

*

 
mj    m 

 

(12)

*          6          6          6

d (d ii )  2∑ d * a

− ∑ d * b

∑ d *  b   1      

dt         k 1

ki    ki

 

n 1

ni    n

 

m 1

mi    m  

при начальных условиях

 

ij       0

 
d * (t )  0 .     (13)

Все расчеты можно произвести при помощи пакета Maple.

Константы

C1 , C2 , C3 определяются решением системы (1) с учетом (2) и (3).

Достаточное условие разрешимости задачи стабилизации по [3]:

 

ранг(B AB...A5 B)  6 .         (14)

 

По аналогичной схеме можно построить добавочное управление, компен-

сирующее влияние неточности модели (1).

В реальной ситуации (1) дополняется :

 

dy  Y

dt         I

 

( y)  YII

 

 

( y) ,     (15)

где YII  ( y) - неучтенные или неизвестные силы в уравнении движения.

 

При     этом    в          уравнении      возмущенного            движения       также  появляется

неизвестная часть

X II (t, x, v) .

На  основе  метода,  предложенного  Красинским  А.Я.  в  [2],  добавочное

управление

u(t, x) , компенсирующее влияние

X II (t, x, v) , вырабатывается           при

помощи того же самого исполнительного устройства (магнитной катушки), что

и для реализации управления

v(t, x) .

 

104

АВИАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

 

Добавочное управление тойчивость

  0

в силу системы :

u(t,) должно обеспечивать асимптотическую  ус- (16)

 

 

где

d  P  Qu ,            (17)

dt

 A B 

 0

P  

;        Q     ,

(18)

 0  0 

1 

ij

 
A  a  ;

            

i

 
B  b .

Критерий качества теперь берется в виде

 

∞         7

i

 
J  ∫ (∑ 2   u 2 ) .      (19)

0     i 1

 

Однако для построенной модели надо принимать во внимание не только ее

неточность. У нас может не оказаться полного вектора

только его измерения:

x(t ) , а присутствовать

x€  Cx ,         (20)

где C , например C  [0,0,0,0,0,1] . (21)

 

Строим систему оценивания:

 

x€&  Ax€  L(Cx€ − Cx)  Bv .            (22)

 

Необходимо построить такое L , чтобы при формировании v вместо можно было бы использовать оценку для него x€.

Обозначим через

x(t )

  x€ − x .    (23)

 

Нужно, чтобы

lim  (t )

t →∞

 0 .    (24)

 

Для этого решаем систему

&  A′  C ′ ,       (25)

где

  L′ .        (26)

 

Решение полученной задачи аналогично приведенным ранее. В этом случае

также полностью действует разработанная схема для построения регулирую-

щих воздействий.

Для данной модели при рассмотренных замечаниях по поводу точности и

отсутствия полного фазового вектора были получены управления

v(t, x) , доба-

 

 

105

Модель адаптивной стабилизации намагниченного спутника

 

вочное управление u(t, ) , матрица L . При этом использовались следующие характеристики спутника :

1

 
A  B  2850кг / м 2 , C  24кг / м 2 , 

 0, 

    

2 2 .

 

2

 

3

 
Направляющие косинусы, определяющие постоянную составляющую маг-

 

1                                   3

 

ã

 

=

 

2

 
нитного момента     0.5    ,

2 2 .