Название: Вестник Ульяновского государственного технического университета (В.В. Ефимов) Жанр: Гуманитарный Просмотров: 1154 |
Исследование термических напряжений и перемещений в составных телах с центральной и осевой симметрией
Представлены решения симметричных задач термоупругости для многослойных кон- струкций с центральной и осевой симметрией - трехслойного цилиндра и шара, под- вергаемых тепловым воздействиям внешней средой с постоянной температурой. Ис- следовано термонапряженное состояние трехслойного шара.
Многие элементы конструкций представляют собой составные тела в форме цилиндров, круглых пластин и шаров, которые подвергаются тем- пературным воздействиям. Если температурное поле является функцией радиального расстояния и времени, то в этом случае общая задача термо- упругости в силу симметрии упрощается. Рассмотрим симметричную за- дачу термоупругости для шара и цилиндра. Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид а) для шара: ε 1 (σ r E r 2 μσ ) αΤ T ; (1) 1 ((1 r E r )
T ; (2) б) для цилиндра, когда осевое перемещение (U z ) равно нулю 1 ( r E r 1
(
z
)) T T ; E ( r z )) T T ; 1 ( z E z r )) T
T , (3) так как U z 0 , то z 0 и из уравнения (3) получим z r ) T . (4) После подстановки этого значения в первые два уравнения (3) , они принимают вид: 1 ((1 ) r E r (1 ) (1
T ; (5) 1 ((1 ) E (1 r ) (1
T . (6) Уравнения равновесия для элемента шара (цилиндра) в радиальном на- правлении
d r
m 2 ( r r
) 0 , (7) где m = 3 , 4 соответственно для цилиндра, шара. Уравнение совместности деформаций
dr Геометрические уравнения 1 ( r
r
) 0 . (8)
r U r
, (9) где r - координата; r - нормальное напряжение в радиальном направле- нии; - нормальное окружное напряжение; z - нормальное напряжение в осевом направлении (для цилиндра); - окружная деформация; r - ради- альная деформация; U r - радиальное перемещение. Систему уравнений (1)(9) путем известных математических преобра- зований можно привести к одному разрешающему дифференциальному уравнению относительно радиального напряжения r или радиального перемещения U r . В том случае, когда T диуса, будем иметь: и E - произвольные функции ра-
m 1 dE dr ( m 2 )(1 2 dE
. (10) dr 2 r E dr dr (1 r dr r (1 r dr Дополнительно к уравнению (10) необходимо еще задать граничные условия. Таким образом, мы имеем краевую задачу для линейного диффе- ренциального уравнения второго порядка с переменными коэффициента- ми. В общем случае решение может быть получено лишь приближенными аналитическими или численными методами. При const , E const , const уравнение (10) упрощается и принимает вид:
, (11) dr 2 r dr (1 r dr где m = 3, 4 – соответственно для цилиндра, шара. После определения r остальные компоненты термонапряженного со- стояния находятся для шара из уравнений (1), (2), (7), (9), для цилиндра – (4)(7), (9). Для длинного цилиндра, если торцевые поверхности свободны от на- пряжений (осевое усилие равно нулю), тепловое напряжение в осевом на- правлении определяется по формуле [1]:
. (12) Разрешающие дифференциальные уравнения относительно радиально- го перемещения U для случая, когда и E - произвольные функции
dU r ( m 2 )r m 3 dE E U
ET ) (13) dr dr dr r r dr T или когда const , 2 const , E const
( m 2 ) dU r ( m 2 ) U 1 dT
dr 2
r
. (14)
r
E
r
(1 T T ; (15)
E
dr
r
(1 T T , (16) где m = 3 , 4 – соответственно для цилиндра и шара. Решение уравнения (13) и (14) при заданных граничных условиях по- зволяет найти деформации и напряжения с помощью выражений (9), (15), (16), (4) или (12) . Исследование термонапряженного состояния составных тел с цен- тральной и осевой симметрией проведем на примере определения тепло- вых напряжений и перемещений, возникающих в процессе охлаждения в среде с постоянной температурой tcp t0 , в трехслойном, однородном в пределах каждого слоя шаре (цилиндре) при следующих условиях: 1) слои неразрывно спаяны на поверхности контакта; 2) внешняя поверхность шара (цилиндра) свободна от нагрузки; 3) температурное поле известно и является функцией радиального рас- стояния и времени; 4) при Ti ( R ,Fo ) Ti ( R ,0 ) tcp const система находится в ненапря- женном состоянии.
m d( i )
( m 2 )E( i )
( i ) TR di , ( i =1,2,3) (17) dR 2 R dR (1 i )R dR и уравнений, описывающих граничные условия и условия сопряжения
R
0 ; (18)
R R1 ( 2 )
; R R1 ( 1 ) R
R R1 U ( 2 )
R R1 U K ; (19)
R R2 ( 3 )
R R2 ;
( 2 ) R
R R2 ( 3 ) R
R R2 U K ; (20) R R 1 0 , (21)
r ; ; E E ; Ô ;
M M R ÔR M ÔÌ
; Θi Ti t cp
, ( i =1, 2, 3);
- соответственно безразмер- ные: радиальное напряжение; окружное напряжение; модуль упругости; коэффициент линейного температурного расширения; перемещение; тем- пература; координата. Μ EΜ ΤΜ ( T0 tcp ) ; U Μ ΤΜ (T0 tcp )r3 ; EΜ ; ΤΜ - соответственно масштабные: напряжение; перемещение; модуль упругости; коэффициент линейного температурного расширения. Интегрируя дифференциальные уравнения (17) и подставляя получен- ные выражения для R в уравнения (7), а затем подставляя значения R и
в (2) с учетом соотношений (9), получим следующие выражения
Ì для напряжений
( i )
( i )
1
( m 2 )E ( i )
R ( m2 ) R ( R ,Fo ) A
(1 i ) R( m1 ) R Ri 1 Èi ( R,Fo )dR ;
( i ) ( R,Fo ) A( i ) ( i )
E ( i )
( i ) TR
ÈR
( i ) 2
( i ) ( m 2 )R( m1 ) R (1 i )
TR 1 R( m2 )È ( R,Fo )dR ; (22)
и перемещений: а) для шара (1 i ) R m1 i Ri 1 (1 2 )R (1 )
R ( R, Fo ) i ( i )
A( i ) i
A( i ) (1 )( i )
R R 2Θ ( R,Fo )dR ; (23)
б) для цилиндра (1 i )R 2 i Ri 1
( i )
i )
( i )
E ( i ) R
U R ( R ,Fo ) ( i )
RA2 R (1 i ) RΘi ( R,Fo )dR , (24) R Ri1 где i =1, 2, 3; m = 3, 4 соответственно для цилиндра, шара; A( i ) , A( i ) - по-
Из условия (18) следует, что A( 1 ) 0 . Остальные постоянные найдем из
а) для шара:
( 1 )
1
( 2 )
TR 2
1 A2
R 1 ( R , Fo )dR ; 0
A( 2 ) (1 2 ) A( 2 )
2
(1 2E ( 2 ) 3 1
( 2 ) 2 R
3 R 2 ( R , Fo )dR ;
( 2 ) (1 ) R1
( 3 ) 0
( 2 )
( 2 ) R
2ER TR 1 2 2
2 ( R ,Fo )dR ; R2 R2 (1 ) R2 R1
2E ( 2 ) R3 1 E ( 2 ) 2 2E ( 3 ) R3 1 E ( 3 ) 2 R 2 R
(1 R 2 R
) ( 2 ) R 2 TR
R1 R 2 3 ( R , Fo ) dR ;
(3) 2E (3) (3) R3
3 б) для цилиндра: A2 R
3 (R, Fo)dR ; (25) A( 2 ) E ( 1 )( 1 ) 1 R1
2 1
1 A( 2 ) R TR
R1 ( R,Fo )dR ; 0 1 E ( 1 )( 1 ) 1 R1
A( 2 ) B A( 2 ) B R TR R ( R,Fo )dR ;
1 2 2
|