Учебник: "Вестник Ульяновского государственного технического университета (В.В. Ефимов) - Глава: Исследование термических напряжений и перемещений в составных телах с центральной и осевой симметрией"

Название: Вестник Ульяновского государственного технического университета (В.В. Ефимов)

Жанр: Гуманитарный

Просмотров: 1171

Исследование термических напряжений и перемещений в составных телах с центральной и осевой симметрией

Представлены решения симметричных задач термоупругости для многослойных кон- струкций с центральной и осевой симметрией - трехслойного цилиндра и шара, под- вергаемых тепловым воздействиям внешней средой с постоянной температурой. Ис- следовано термонапряженное состояние трехслойного шара.

Многие элементы конструкций представляют собой составные тела в форме цилиндров, круглых пластин и шаров, которые подвергаются тем- пературным воздействиям. Если температурное поле является функцией радиального расстояния и времени, то в этом случае общая задача термо- упругости в силу симметрии упрощается. Рассмотрим симметричную за- дачу термоупругости для шара и цилиндра.

Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид а) для шара:

ε  1 (σ

r E r

 2 μσ  )  αΤ T ; (1)

  1 ((1  

r E 

 r

)  

T ; (2)

б) для цилиндра, когда осевое перемещение

(U z ) равно нулю

  1 ( 

r E r

 (  

  z

))  T T ;

  E (   r

  z ))  T T ;

  1 ( 

z E z

 r

  

))  T

T , (3)

так как U z

 0 , то

 z  0

и из уравнения (3) получим

z  r   )  T . (4)

После подстановки этого значения в первые два уравнения (3) , они принимают вид:

  1 ((1    )

r E r

 (1  

)  (1  

T ; (5)

  1 ((1    )

 E 

 (1  

r )  (1   

T . (6)

Уравнения равновесия для элемента шара (цилиндра) в радиальном на-

правлении

d r

d r

 m 2 ( 

r r

 

)  0 , (7)

где m = 3 , 4 соответственно для цилиндра, шара.

Уравнение совместности деформаций

d

Геометрические уравнения

 1 ( 

r 

  r

)  0 . (8)

dU r z

  U r

 r

, (9)

где r - координата;  r - нормальное напряжение в радиальном направле-

нии;

 - нормальное окружное напряжение;

 z - нормальное напряжение в

осевом направлении (для цилиндра);

 - окружная деформация;

 r - ради-

альная деформация; U r - радиальное перемещение.

Систему уравнений (1)(9) путем известных математических преобра-

зований можно привести к одному разрешающему дифференциальному

уравнению относительно радиального напряжения

r или радиального

перемещения U r . В том случае, когда T

диуса, будем иметь:

и E - произвольные функции ра-

d r

 m 

1 dE dr

 ( m  2 )(1  2 dE  

  ( m  2 )E d( T T )

. (10)

dr 2

r E dr dr

(1  r dr r

(1  r dr

Дополнительно к уравнению (10) необходимо еще задать граничные условия. Таким образом, мы имеем краевую задачу для линейного диффе- ренциального уравнения второго порядка с переменными коэффициента- ми. В общем случае решение может быть получено лишь приближенными аналитическими или численными методами.

При

  const ,

E  const ,

   const

уравнение (10) упрощается и

принимает вид:

d 2  r

 m d r

  ( m  2 )  E dT

, (11)

dr 2

r dr

(1  r dr

где m = 3, 4 – соответственно для цилиндра, шара.

После определения r

остальные компоненты термонапряженного со-

стояния находятся для шара из уравнений (1), (2), (7), (9), для цилиндра – (4)(7), (9).

Для длинного цилиндра, если торцевые поверхности свободны от на- пряжений (осевое усилие равно нулю), тепловое напряжение в осевом на- правлении определяется по формуле [1]:

  

 

. (12)

Разрешающие дифференциальные уравнения относительно радиально-

го перемещения

U для случая, когда  и E - произвольные функции



радиуса, можно записать следующим образом

d  Er m  2

dU r   ( m  2 )r m  3  

dE  E U

 1   r m  2

d ( 

ET ) (13)

dr 

dr 

   dr

r r   

dr T

или когда   const ,

   const ,

E  const

d U r

 ( m  2 ) dU r

 ( m  2 ) U

 1   dT

dr 2

r dr

r  

r   

. (14)

(

Соотношения между напряжениями и перемещениями имеют вид:

 r 

(1    

(1   dU r

(

 ( m  2 ) U r

 (1  T

T ; (15)

  

(1   )(1  2 )

 dU r

 (1  ( m  4 ) U r

 (1  T

T , (16)

где m = 3 , 4 – соответственно для цилиндра и шара.

Решение уравнения (13) и (14) при заданных граничных условиях по- зволяет найти деформации и напряжения с помощью выражений (9), (15), (16), (4) или (12) .

Исследование термонапряженного состояния составных тел с цен- тральной и осевой симметрией проведем на примере определения тепло- вых напряжений и перемещений, возникающих в процессе охлаждения в среде с постоянной температурой tcp  t0 , в трехслойном, однородном в

пределах каждого слоя шаре (цилиндре) при следующих условиях:

1) слои неразрывно спаяны на поверхности контакта;

2) внешняя поверхность шара (цилиндра) свободна от нагрузки;

3) температурное поле известно и является функцией радиального рас-

стояния и времени;

4) при

Ti ( R ,Fo )  Ti ( R ,0 )  tcp  const

система находится в ненапря-

женном состоянии.

Рассматриваемая задача математически может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения термоупругости в напряжениях (11) для каждого слоя в безразмерной форме

2 ( i ) R

m d( i )

 R

( m  2 )E( i )

  R

( i ) TR

di , ( i =1,2,3) (17)

dR 2

R dR

(1  i )R dR

и уравнений, описывающих граничные условия и условия сопряжения

d( 1 )

R  0

 0 ; (18)

( 1 ) R

R  R1

 ( 2 )

;

R  R1

( 1 ) R

R  R1

 U ( 2 )

R  R1

 U K ; (19)

( 2 ) R

R  R2

 ( 3 )

R  R2

;

( 3 )

( 2 ) R

R  R2

( 3 ) R

R  R2

 U K ; (20)

 R R  1  0 , (21)

где 

 r ;

   ;

E  E ;

  Ô ;

R R

M M

R ÔR

M ÔÌ

U  U R M

; Θi

 Ti  t cp

T0  tcp

, ( i =1, 2, 3);

R  r r3

- соответственно безразмер-

ные: радиальное напряжение; окружное напряжение; модуль упругости; коэффициент линейного температурного расширения; перемещение; тем- пература; координата.

 Μ  EΜ 

ΤΜ

( T0  tcp ) ; U Μ

 ΤΜ (T0  tcp )r3 ;

EΜ ;

ΤΜ - соответственно

масштабные: напряжение; перемещение; модуль упругости; коэффициент линейного температурного расширения.

Интегрируя дифференциальные уравнения (17) и подставляя получен-

ные выражения для

 R в уравнения (7), а затем подставляя значения

 R и

  óÈ

в (2) с учетом соотношений (9), получим следующие выражения

ÈR

для напряжений

( i ) 

( i )

( m  2 )E ( i )

 R

( i ) TR

 ( m2 )

R ( R ,Fo )

A 

2 R( m1 )

(1  i )

R( m1 )

Ri 1

Èi ( R,Fo )dR ;

( i ) ( R,Fo )  A( i ) 

( i )

E ( i )

 R

( i ) TR

È ( R ,Fo ) 

ÈR

( i )

( m  2 )R( m1 ) R

(1  i )

 ER

TR 1

 R( m2 )È

( R,Fo )dR ; (22)

и перемещений:

а) для шара

(1  i

) R m1

Ri 1

(1  2 )R

(1   )

( i )

( R, Fo )

 i ( i )

A( i )  i

2 2E ( i ) R 2

A( i ) 

(1   )( i )

 i TR

R 2Θ ( R,Fo )dR ; (23)

б) для цилиндра

(1  i

)R 2

 i

Ri 1

( i )

 (1  2i

  i ) 

( i ) 

( i )

E ( i )

 R

( i ) R

TR 

U R ( R ,Fo )

( i )

RA2

R (1  i )

RΘi ( R,Fo )dR , (24)

R Ri1

где i =1, 2, 3; m = 3, 4 соответственно для цилиндра, шара;

A( i ) ,

A( i ) - по-

стоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (18), (21) и условий сопряжения (19), (20).

Из условия (18) следует, что

A( 1 )  0 . Остальные постоянные найдем из

решения следующей системы уравнений:

а) для шара:

( 1 )

( 2 )

2E ( 1 )

( 1 ) R1

TR 2

A2  3

 A2



(1  

)R 3

 R 1 ( R , Fo )dR ;

 (1  2 ) A( 1 )  (1    ) 1

A( 2 )  (1  2  ) A( 2 ) 

( 1 ) R

(1  

2E ( 2 ) 3 1

) ( 1 ) R1

( 2 ) 2

  TR

 R 2  ( R , Fo )dR ;

( 2 )

(1   ) R1

( 3 )

( 2 )

( 2 ) R

A1  A( 2 )  A1

 A( 3 )

 2ER

TR

1 2 2

3 

2 ( R ,Fo )dR ;

R2 R2

(1    ) R2

(1   ) A( 2 )  (1  2 ) A( 2 )  (1   ) A( 3 )  (1  2 ) A( 3 ) 

2E ( 2 ) R3 1

E ( 2 )

2 2E ( 3 ) R3 1

E ( 3 ) 2

R 2 R

(1  

R 2 R

)  ( 2 ) R 2

   TR 

2 2

(1   ) R 3

R 2 

3 ( R , Fo ) dR ;

(3)

2E (3)

(3) R3

TR 2

б) для цилиндра:

 A2

  R

)

(1    3 R2

3 (R, Fo)dR ; (25)

A( 2 )

E ( 1 )( 1 )

1 R1

( 1 )

( 2 )

 A( 2 )

 R TR

1 1

(1   ) R 2

 R1 ( R,Fo )dR ;

1 E ( 1 )( 1 )

1 R1

B A( 1 ) B

A( 2 )

B A( 2 )

B R TR R

( R,Fo )dR ;

 1 2

2 2 1

 2 2

