Название: Вестник Ульяновского государственного технического университета (В.В. Ефимов)

Жанр: Гуманитарный

Просмотров: 1133


Исследование термических напряжений и перемещений в составных телах с центральной и осевой  симметрией

 

Представлены решения симметричных задач термоупругости для многослойных кон- струкций с центральной и осевой симметрией  - трехслойного цилиндра и шара, под- вергаемых тепловым воздействиям внешней средой с постоянной температурой. Ис- следовано термонапряженное состояние трехслойного шара.

 

Многие элементы конструкций представляют собой составные тела в форме цилиндров, круглых пластин и шаров, которые подвергаются тем- пературным воздействиям. Если температурное поле является функцией радиального расстояния и времени, то в этом случае общая задача термо- упругости в силу симметрии упрощается. Рассмотрим симметричную за- дачу термоупругости для шара и цилиндра.

Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид а) для шара:

ε            1 (σ

r           E          r

 2 μσ  )  αΤ T ;          (1)

           1 ((1  

r           E          

 r

)  

 

T ;     (2)

б) для цилиндра, когда осевое перемещение

(U z ) равно нулю

           1 ( 

r           E          r

 1

 

 (  

 

  z

 

))  T T ;

   E (    r

  z  ))  T T ;

           1 ( 

z           E          z

 r

  

))  T

 

T ,        (3)

так как U z

 0 , то

 z   0

и из уравнения (3) получим

z   r    )  T .       (4)

После подстановки этого значения в первые два уравнения (3) , они принимают вид:

           1 ((1     )

r           E          r

 (1  

)  (1  

 

T ;     (5)

           1 ((1     )

         E          

 (1  

r  )  (1   

 

T .        (6)

Уравнения равновесия для элемента шара (цилиндра) в радиальном на-

правлении

d r

d r

 

  m 2 ( 

r           r

 

 

 

)  0 ,  (7)

где m = 3 , 4 соответственно для цилиндра, шара.

Уравнение совместности деформаций

d

dr

Геометрические уравнения

  1 ( 

r           

 

  r

 

)  0 .  (8)

d

 

=

 

e

 

,

 
dU r z

r

   U r

         r

 

,           (9)

где  r - координата;  r - нормальное напряжение в радиальном направле-

нии;

 - нормальное окружное напряжение;

 z - нормальное напряжение в

осевом направлении (для цилиндра);

 - окружная деформация;

 r - ради-

альная деформация; U r - радиальное перемещение.

Систему уравнений (1)(9) путем известных математических преобра-

зований  можно  привести  к  одному  разрешающему  дифференциальному

уравнению относительно радиального напряжения

r    или радиального

перемещения U r . В том случае, когда T

диуса, будем иметь:

и E - произвольные функции ра-

 

2

 
d  r

 m 

1 dE dr

 ( m  2 )(1  2 dE  

 

  ( m  2 )E d( T T )

 

 

. (10)

dr 2

r           E dr      dr

(1  r            dr         r

(1  r   dr

Дополнительно к уравнению (10) необходимо еще задать граничные условия. Таким образом, мы имеем краевую задачу для линейного диффе- ренциального уравнения второго порядка с переменными коэффициента- ми. В общем случае решение может быть получено лишь приближенными аналитическими или численными методами.

При

  const ,

E  const ,

    const

уравнение  (10)  упрощается  и

принимает вид:

 

 

d 2  r

 

 

  m d r

 

 

  ( m  2 )  E dT

 

,           (11)

dr 2

r           dr

(1  r   dr

где m = 3, 4 – соответственно для цилиндра, шара.

После определения r

остальные компоненты термонапряженного со-

стояния           находятся       для      шара    из        уравнений      (1),       (2),       (7),       (9),       для цилиндра – (4)(7), (9).

Для длинного цилиндра, если торцевые поверхности свободны от на- пряжений (осевое усилие равно нулю), тепловое напряжение в осевом на- правлении определяется по формуле [1]:

z

 

r

 
   

 

.           (12)

Разрешающие дифференциальные уравнения относительно радиально-

го перемещения

U         для случая, когда   и  E  - произвольные функции

r

 

ö

 
радиуса, можно записать следующим образом

 

æ

 
d   Er m  2

dU r    ( m  2 )r m  3  

dE  E U

 

 1   r m  2

 

d ( 

 

 

ET ) (13)

dr 

dr  

   dr

r           r             

dr         T

или когда   const ,

2

   const ,

E  const

d  U r

 ( m  2 ) dU r

 ( m  2 ) U

 1   dT

 

dr 2

 

r           dr

r            

2

 
r             

.           (14)

dr

(

 
Соотношения между напряжениями и перемещениями имеют вид:

 

 

 r  

 

E

(1    

 

(1   dU r

(

 
dr

 

 ( m  2 ) U r

r

 

 

 (1  T

T ;        (15)

 

 

  

 

E

(1   )(1  2 )

 

 dU r

dr

 

 (1  ( m  4 ) U r

r

 

 

 (1  T

T ,        (16)

где m = 3 , 4 – соответственно для цилиндра и шара.

Решение уравнения (13) и (14) при заданных граничных условиях по- зволяет найти деформации и напряжения с помощью выражений (9), (15), (16), (4) или (12) .

Исследование термонапряженного состояния составных тел   с цен- тральной и осевой симметрией проведем на примере определения тепло- вых напряжений и перемещений, возникающих в процессе охлаждения в среде с постоянной температурой tcp  t0 , в трехслойном, однородном в

пределах каждого слоя шаре (цилиндре) при следующих условиях:

1) слои неразрывно спаяны на поверхности контакта;

2) внешняя поверхность шара (цилиндра) свободна от нагрузки;

3) температурное поле известно и является функцией радиального рас-

стояния и времени;

4) при

Ti ( R ,Fo )  Ti ( R ,0 )  tcp   const

система  находится  в  ненапря-

женном состоянии.

a

 
Рассматриваемая задача математически может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения   термоупругости в напряжениях (11) для каждого слоя в безразмерной форме

s

 

d

 
2   ( i ) R

m d( i )

            R

( m  2 )E( i )

         R

( i ) TR

di  ,   ( i =1,2,3)         (17)

dR 2

R          dR

(1  i )R          dR

и уравнений, описывающих граничные условия и условия сопряжения

d( 1 )

            R         

dR

 

 

R

 

U

 

R

 

1

 
R  0

 0 ;    (18)

s

 
( 1 ) R

 

R  R1

 ( 2 )

 

;

R  R1

( 1 ) R

 

R  R1

 U ( 2 )

 

R  R1

 U K ;           (19)

s

 
( 2 ) R

 

R  R2

 ( 3 )

 

R  R2

;

 

R

 

U

 

U

 

2

 

=

 
( 3 )

( 2 ) R

 

R  R2

( 3 ) R

 

R  R2

 U K ;           (20)

 R      R  1  0 ,      (21)

 

где 

 r   ;

             ;

E            E  ;

           Ô ;

s

 

s

 
R          R

M         M

R          ÔR

M         ÔÌ

U

 

R

 
U          U R M

 

; Θi

 Ti   t cp

T0  tcp

 

, ( i =1, 2, 3);

 

E

 

a

 
R  r r3

 

- соответственно безразмер-

ные: радиальное напряжение; окружное напряжение; модуль упругости; коэффициент линейного температурного расширения; перемещение; тем- пература; координата.

 Μ   EΜ 

ΤΜ

( T0  tcp  ) ; U Μ

 ΤΜ (T0  tcp )r3 ;

EΜ ;

ΤΜ - соответственно

масштабные: напряжение; перемещение; модуль упругости; коэффициент линейного температурного расширения.

Интегрируя дифференциальные уравнения (17) и подставляя получен-

ные выражения для

 R  в уравнения (7), а затем подставляя значения

 R  и

          óÈ

 

в (2) с учетом соотношений (9), получим следующие выражения

ó

 
ÈR

Ì

для напряжений

 

( i )    

 

( i )

 

 

A

 
( i )

1

 

 

( m  2 )E ( i )

            R

 

 

a

 

1

 
( i ) TR

 

 

R

         ( m2 )

R  ( R ,Fo )

A         

2          R( m1 )

(1  i  )

R( m1 )

R

Ri 1

Èi ( R,Fo )dR ;

 

( i ) ( R,Fo )  A( i )  

( i )

A

 
1

E ( i )

a

 
            R

( i ) TR

 

i

 
È ( R ,Fo ) 

ÈR

 

( i )

2

 

( i )

( m  2 )R( m1 ) R

(1  i  )

 ER

TR    1

 R( m2 )È

( R,Fo )dR ;     (22)

 

 

и перемещений:

а) для шара

(1  i

) R m1

i

Ri 1

(1  2  )R

(1    )

U

 

1

 
( i )

R

( R, Fo )

                     i            ( i )

E

 
R

A( i )                i          

R

 
2          2E ( i ) R 2

A( i )  

(1    )( i )

            i           TR

R

R 2Θ ( R,Fo )dR ;        (23)

 

 

б) для цилиндра

(1  i

)R 2

         i

Ri 1

 

 

( i )

 

E

 
 (1  2i

  i  ) 

 

 

( i )  

 

A

 
( i )

1

 

E ( i )

            R

 

)1

 
( i )       R

TR       

U R   ( R ,Fo )

( i )

R

RA2

R          (1  i  )

RΘi ( R,Fo )dR , (24)

R Ri1

где i =1, 2, 3; m = 3, 4 соответственно для цилиндра, шара;

A( i ) ,

A( i ) - по-

1

 

2

 
стоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (18), (21) и условий сопряжения (19), (20).

 

Из условия (18) следует, что

A( 1 )   0 . Остальные постоянные найдем из

1

 
решения следующей системы уравнений:

а) для шара:

 

 

( 1 )

 

A

 
( 2 )

1

 

 

( 2 )

 

R

 
2E ( 1 )

 

a

 
( 1 )    R1

TR       2

R

 
A2                   3

1

 A2

(1  

 

1

 
)R 3

 R 1 ( R , Fo )dR ;

0

2

 

1

 
 (1  2 ) A( 1 )   (1     )  1

A( 2 )   (1  2   ) A( 2 )  

E

 

R

 
( 1 ) R

2

 

(1  

2E ( 2 )            3          1

 

E

 

1

 
) ( 1 )  R1

( 2 )      2

R

=

 
                    TR          

3

 R 2  ( R , Fo )dR ;

 

 

( 2 )

(1   )  R1

 

( 3 )

0

 

( 2 )

 

 

( 2 )      R

2

 

3

 

3

 
A1        A( 2 )   A1

 

2

 
 A( 3 )

 2ER

TR

1          2          2

R

 
3   

 

2 ( R ,Fo )dR ;

R2        R2

(1     )  R2

R1

(1    ) A( 2 )   (1  2  ) A( 2 )   (1    ) A( 3 )   (1  2 ) A( 3 )  

2E ( 2 ) R3       1

E ( 2 )

2          2E ( 3 ) R3       1

E ( 3 )  2

R          2          R

 

(1  

R          2          R

 

)  ( 2 )   R 2

                  TR     

2         2

 
(1    ) R 3

R1

R 2 

3 ( R , Fo ) dR ;

A

 
(3)

1

 

(3)

2E (3)

(3)    R3

a

 

3

 
TR       2

R

 

R

 
3

3

б) для цилиндра:

 A2

          R

R

 

)

 
(1               3  R2

3 (R, Fo)dR ;            (25)

A( 2 )

E ( 1 )( 1 )

1  R1

A

 

2

 

-

 
( 1 )

2

    1     

R

 
( 2 )

1

 A( 2 )

      R             TR      

1        1

 
(1    ) R 2

 R1 ( R,Fo )dR ;

0

1          E ( 1 )( 1 )

1  R1

-

 
B A( 1 )           B

A( 2 )

B A( 2 )

B       R            TR                   R

( R,Fo )dR ;

            1    2

 

R

 
2          2          1

1

            2    2