Название: Автоматизация и управление процессами теплогазоснабжения и вентиляции - Пособие для практических занятий (Н.Н. Ковальногов)

Жанр: Энергетический

Просмотров: 1562


2.1. интегральное преобразование лапласа

Чтобы упростить и сделать более наглядным анализ динамического уравнения звена или автоматизированной системы в целом, в теории автоматического управления широко применяется операционный метод. Этот метод, основанный на интегральном преобразовании Лапласа, состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а некоторое ее видоизменение (изображение).

Преобразование Лапласа, которое определяет связь между оригиналом f(т) и изображением Ffs), имеет вид:

 

F{s)=f{r)e"d т,

(2.1)

 

 

 

 

L[af{r)] = aF{s).

(2.3)

 

3. Изображение постоянной определяется выражением

Подпись: (2.4) (2.5) (2.6) (2.7)L[a]^/S .

Изображение функции /far) определяется выражением

Изображение производной выражается формулой

/ (r)J = sF(*)-/(0) . ПриУ(0)=0 (нулевые начальные условия) имеем: /(r)] = ,F(s) .

Изображение производной я-го порядка определяется выражением

L [Ґ'{т)=я-Е{і)-Г/ (О) - s""2/ ' (0)-...-/" и(0). (2.8)

Если в начальный момент времени (г=0) функция/(г) и ее производные до я-1 порядка включительно принимают нулевые значения, то выражение (2.8) примет вид:

l[/"(t)]=s-f(s). (2.9)

6. Изображение интеграла функции определяется зависимостью

f(x)dx] = -f(s). (2.10)

.о         J s

Для удобства практического использования операционного метода в инженерных задачах на основе выражения (2.1) получены готовые соотношения для изображений различных функций. Изображения некоторых наиболее употребительных функций приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Изображения некоторых функций

 

Оригинал

Изображение

Оригинал

Изображение

 

 

s + а

 

Подпись: сояяя(<0г)

:(<0г)

 

2 j. 2

s + о)

< і z s + о)

 

г е

а

 

(s + a)

s(s + й)

 

 

а-Ь

 

(s-a)(s-b)

In

s-b

 

 

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа и имеющиеся формулы связи оригиналов и изображений позволяют быстро отыскать оригинал по изображению функции или наоборот.