Название: Автоматизация и управление процессами теплогазоснабжения и вентиляции - Пособие для практических занятий (Н.Н. Ковальногов)

Жанр: Энергетический

Просмотров: 1562


2.4. частотные характеристики

Если известна передаточная функция звена, объекта или системы, то их частотные характеристики можно отыскать путем замены в этой функции переменной s на произведение ш, где і - мнимая единица,» -круговая частота. Полученную в результате такой замены функцию комплексного переменного Щісо) можно представить в тригонометрической или показательной формах

W(ico) = A(co^cos(p(co) + і sin (2.32)

W(ico)=A{co)ei,'(a). (2.33) Здесь A(co) - отношение амплитуд выходного и входного сигналов; ср^со) - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами.

Зависимость относительной амплитуды А(со) от частоты со представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а зависимость сдвига по фазе ср(со) от частоты со - фазо-частотную характеристику (ФЧХ).

На комплексной плоскости функцию W(ico) можно представить как геометрическую сумму вещественной R(co) и мнимой И(со) частей.

W(ia>) = R(a>) + і /(ю). (2.34)

Зависимость (2.34) определяет комплексную частотную характеристику, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Между функциями А(а>), (р^со), R(a>), 1(а>) существует однозначная связь

^ (2.35)

А{со) = 4Г{со)+Г{со) ;

 

<р(а>) = -arctg

/(«)

R(a>)

(2.36)

 

Вид амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик показан на рис. 2.1.

А 9

со

Рис. 2.1. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики

Получение АЧХ, ФЧХ, АФХ рассмотрим на примере колебательного звена с передаточной функцией, определяемой соотношением

W{')=n*.2 V. ,   • (2-37)

Г>2 +7> + 1

(2.38)

Сделав в выражении (2.37) подстановку s=ico, получим

W(ia>)=     .    *           .

v   '   -ТЫ + іТ,о) +1

 

Умножив числитель и знаменатель выражения (2.38) на величину (І-ТУсЯ-іТ/ю), освободимся от иррациональности в знаменателе

W(ico) = —Д-—• (2.39)

R(a>)-

Из условия тождественности выражений (2.34), (2.39) получаем соотношения для величин R(a>) и 1(а>) k(-T2W)

(2.40)

і + (7;2-27;2)ю2 + 7>4 '

Подпись: кТ,а>(2.41)

і + (т;2-2г22)й2 + 7->4

Дальнейший анализ выполняется с помощью выражений (2.34) -(2.36).

Таблица 2.3

Графики переходных процессов и амплитудно-фазовые характеристики типовых звеньев

 

Звено

Переходный процесс

АФХ

 

усилительное

ІІ

 

 

R

 

запаздывающее

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подпись: R

 

Подпись: апериодическое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подпись:

колебательное

ilk

 

 

 

 

 

Подпись:

интегрирующее

ІІ

 

 

R

 

дифференцирующее

и

 

 

R

Примеры графиков переходных процессов и амплитудно-фазовых характеристик для различных звеньев приведены в табл. 2.3.