Название: Автоматизация и управление процессами теплогазоснабжения и вентиляции - Пособие для практических занятий (Н.Н. Ковальногов)

Жанр: Энергетический

Просмотров: 1551


2.2. анализ дифференциального уравнения динамики звена операционным методом. передаточная функция

Применяя к дифференциальному уравнению (1.7) интегральное преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях (когда при г=0 искомая функция и все ее производные обращаются в ноль), получим

У (s)(a„s" +«„_,*"-'+...+«,$+ «0) = х(*Х*»$*  +...+b,s + *»). (2-1)

Здесь F(s), X(s) - изображения функций у и jc соответственно. Уравнение (2.11) можно представить в виде

у($) = b^+bm_lS-'+...+blS + box{s) = Щщ = {)

w   a„s" +an^s"-l+...+als + al)   w   A(s)  w     w w Здесь комплексы A(s), B(s), fV(s) определяется выражениями

^($) = a„s" +an_ls"~l+...+als + a0; (2.13)

B(s) = bms" + bm_lS"' +...+b,s + К;     (2.14)

W® = \% ■ (215) Таким образом, динамическое уравнение в изображениях имеет

вид, сходный по форме со статической характеристикой звена (1.1)

Y(s)=W(s)X{s). (2.16) Входящая в выражения (2.12), (2.16) функция W(s) представляет

собой отношение изображения выходного сигнала к изображению

входного сигнала и называется передаточной функцией.

Передаточная функция fV(s) в динамическом уравнении является

аналогом коэффициента передачи к в статической характеристике. Передаточные функции типовых звеньев и некоторых объектов

регулирования приведены в табл. 2.2.

Передаточная функция системы звеньев зависит от способа их

объединения.

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функцией этих звеньев

W(S)=fl^(S). (2.17)

i=l

Здесь і - номер звена; п - количество звеньев.

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций этих звеньев

(2.18)

W(s) =

W   1 + ]

Передаточная функция цепи с обратной связью определяется выражением

(2.19)

+ W,(s)tV2(s) '

где W(s) - передаточная функция прямой цепи; H^s) - передаточная функция обратной связи; знак "+" соответствует отрицательной обратной связи, а знак      положительной обратной связи.

2.3. Решение динамического уравнения. Расчет переходной характеристики

Из выражения (2.16) с учетом (2.13) - (2.15) следует, что применив интегральное преобразование Лапласа к линейному дифференциальному динамическому уравнению при нулевых начальных условиях, можно получить зависимость для изображения искомой функции в виде •

 

Г(,) =

ем

(2.20)

 

где P(s), Q(s) - некоторые полиномы относительно переменной s.

Применив к функции Y(s) обратное преобразование Лапласа, получим решение исходного динамического уравнения

 

y(r)=L

.еМ.

(2.21)

 

Из теоремы разложения Ващенко-Захарченко получаем

 

.fiM.

= 1

(2.22)

 

где si - і-й корень полинома Q(s); q - количество корней; Qs)- производная функции Q(s) по переменной s.

С учетом (2.22) решение динамического уравнения примет вид P(s,) ,<

(2.23)

е'(*<)

Решение (2.23) может быть использовано в частности для расчета переходной характеристики. Для этого нужно описать приближенной аналитической функцией единичное ступенчатое изменение входной величины и с использованием этой функции сформировать полиномы P(s) и Q(s). Для приближенного описания единичного ступенчатого изменения входной величины может быть использована функция

х(т) = 1-ел, (2.24) где S- некоторый числовой коэффициент.

Изображение X(s) функции х(т) определяется соотношением

 

s(s + Ј)

Таким образом, если известно выражение для передаточной функции, то с использованием зависимости (2.25) нетрудно сформировать полиномы P(s) и Q(s). Например, для апериодического звена, передаточная функция которого в соответствии с табл. 2.2 определяется соотношением

tV(s)=k/(Ts + l) , (2.26) полиномы P(s) и Q(s) имеют вид

P(s)= кд   , {121)

Q{s)=s(s + SXTs + ) = Ts' +(TS+)s2 + sS . (2.28) Полином третьей степени (2.28) имеет 3 корня: s/=0; S2=-S; s3=-

l/T.

Производная Q'(s) функции Q(s) имеет вид

<2'(*) = 37У+ 2(re + l)s + <?  , (2.29)

а ее значения, подставляемые в выражение (2.23), определяются соотношениями

Q'(',) = S;      Q'(s2)=TS2;     Q'(s3) = (-TS)/T. (2.30)

С учетом (2.27), (2.30) выражение (2.23) для расчета переходной характеристики примет вид

у(т) = к + — е *+™Le"T . (2.31)

Т8        1 — Тд            К '

Аналогично получается решение динамического уравнения при произвольном изменении входной величины. При этом вместо функции (2.24) выбирается другая функция, описывающая изменение входной величины.