Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 758


1.4. передача усилия основанию при действиях произвольной возмущающей силы

Рассмотрим свободные затухающие колебания материальной точки под действием единичного импульса тх0 = 1, где х0 - начальная скорость массы т.

Для этого следует рассмотреть решение однородного уравнения:

х + 2пх + к2х = О при следующих начальных условиях:

 

х0 — О, xQ = .

т

Это решение, согласно (1.1.2), имеет вид:

0 = e-«'_LsmЈl/5          (14 J)

тк*

где кх = лік2 -п2 .

Функция 0 называется реакцией на единичный импульс. Если последний накладывается не в момент времени / = 0, а при / = т, то в выражении (1.4.1) надо заменить / на (/ - т):

0(/ - т) = е~<*-х) — smUt -x),t> т; ткх

0(/-т) = О, t<x.

Действие произвольной силы Hj) в промежутке времени (0,/) можно считать последовательным приложением импульсов бесконечно малой величины H(x)dx. Каждый такой импульс вызывает динамический отклик, определяемый выражением:

H(x)Q(t-x)dx,

а результирующее движение, согласно принципу суперпозиции, определяется интегралом:

**(/) = Я(т)0(/ - x)(h = -^~Н{х)е-^-х) шкх(г-\%). (1.4.2)

о о

Для того чтобы учесть начальные условия, наложим на решение (1.4.2) свободные колебания, возникающие за счет начального отклонения х0 и начальной скорости х0:

х = e~nt

Ґ          ^  , «.«  Л     j t

mklQ

х0 со$к^ + Хо + ПХ° sinfr/ + -^TH(x)e-<t^ smkl(t-x)dx .(1.4.3)

-j         1-      ,        - і-

V         kx )

Если сделать замену переменных t-x = xx, то выражение (1.4.2) перепишется так:

1 '        1 '

/(/) =    -H{t-xx)e-m' smklxldxl=—H(t-x)e~m smkxxdx

і о

4 0

Найдем проюводную:

 

x - -ne   x0 совл^л--^—-sin&1/j +

+e и'(-л:о^і sin&j/ + (i0 + rac0)cosA:j/) +

1 '

+—— J H(x)e~"^t~^[-nsmkl(t -x) + kl cos^(/- x)]dx.

(1.4.4)

Реакция на фундамент будет:

Fx=-(cx + bx), (1.4.5)

где х и X берутся соответственно по формулам (1.4.3) и (1.4.4).

Рассмотрим действие на систему возмущающей силы в виде ступенчатой функции:

1, х > О, О, х < О,

при jc0 = 0, х0 = 0. Для этого следует вычислить интеграл:

і о

х = -±-[e-nv~x> sinkAt - x)dx = — f e~mi smkiXidx.

тк^0     mk J

 

 

(1.4.6)

1-е

-nt

П

coskxt + — smkxt kx

Реакция на фундамент найдется по формуле (1.4.5), куда следует подставить решение (1.4.6).

 

1.5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ АМОРТИЗИРУЕМОГО ОБЪЕКТА ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ СО СТОРОНЫ

ОСНОВАНИЯ

Дифференциальное уравнение амортизируемого объекта при произвольном движении основания записывается в виде:

тх + Ьх + сх = си + Ьй, (1.5.1) где и = u(t) - перемещение основания. Таким образом, возмущающая сила,

действующая на массу т, возникающая за счет деформации пружины и за счет вязкого сопротивления в демпфере, определяется соотношением:

H(t) = cu+bu. (1.5.2)

Таким образом, согласно (1.4.2) и (1.4.3) выражение «описывающее динамическое поведение системы^апишется так:

+

(1.5.3)

-nt(       і        ^0 "t" W^ffl   • і

х = е    дс0 cos&,/ + —           -smLt

^|[Цт) + Цт)]е_и('~т) sin*j(/ - x)dx.

"1 о