Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 757


1.3. защита амортизируемого объекта от вибраций основания

Современные машины снабжены большим числом контрольно-измерительных приборов, объединенных в единые комплексы и системы автоматики. При работе машин возникают вибрации корпусов и панелей, служащих основанием для установки на них приборов и аппаратуры. Эти вибрации передаются на контрольно-измерительную аппаратуру, причем возникающие при этом силы инерции могут не только исказить показания приборов и сигналы датчиков первичной информации, но и вывести контрольно-измерительные и управляющие комплексы из строя. В связи с этим возникает необходимость защиты контрольно-измерительных комплексов и систем автоматики от вибраций оснований, то есть ставится задача амортизации.

Пусть основание совершает движение по гармоническому закону

| = $ sin pt. Если массу m жестко закрепить на основании, то она будет совершать движение по тому же закону. Если же массу закрепить с помощью пружины (прокладки с внутреннем рассеянием энергии, специально сконструированные устройства, содержащие упругий и демпфирующий элементы), то движение массы m будет отличаться от движения основания.

 

Обозначим абсолютное перемещение центра тяжести массы т через х , а его смещение относительно колеблющегося основания через х0. Масса т совершает сложное

движение, следовательно, абсолютное перемещение х массы т будет складываться из переносного движения \% и относительного л;0, то есть:

* = 4 + *о- (1.3.1) На массу действуют две силы: упругая сила пружины

Fcx = -сх0 = -с(х - (1.3.2)

и сила вязкого сопротивления

 

m

 

О

ТТТ P=mg

Fc Fv Рис. 9

Т С <> l±j b

 

11 IT

 

х

 

C=Csinpt

 

Fvv = -Ь хо

(1.3.3.)

Уравнение движения согласно второму закону Ньютона записывается в следующем виде:

(1.3.4)

Л Л

mx = Fcx + Fvx=-c(x-Z))-b х-І

 

Подставим в (1.3.4) выражение для £, и поделив почленно на m получим:

 

х+ 2пх+ к х = hx cospt + hsinpt,

(1.3.5)

где       hl = 2npCs   и    h = C,kz. (1.3.6)

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами так же, как и решение уравнения (1.1.2),состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения:

хх = e~nt(cx coskxt + c2 sirkxt), (1.3.7)

где кх = лік2 - п2, и частного решения неоднородного уравнения х2. Но частное решение в данном случае уже будет иным.

Как и прежде,будем рассматривать случай относительно малого трения, когда к > п. Частное решение, то есть вынужденные колебания ,будем искать в виде:

х2 = Ах sinpt + А2 cos/?/. (1.3.8)

Подставляя (1.3.8) в уравнение (1.3.5) и приравнивая коэффициенты у одноименных тригонометрических функций, получим:

(1.3.9)

(-р2 + к2")Ах-2прА2 =h; 2прАх + (-р2 + к2^А2 - ^. Решая систему (1.3.9),найдем постоянные Ахи А2:

h(k2 -р2} +hx2np        -h2np + hx(k2 -р2}

(k2-p2f+4п2р2'   ?   (k2-p2f + 4n2p2

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения (1.3.5) таково:

Подпись: h(k2 -р2}+hx2np

х-е nt{схcoskxt + с2sinkxt) +

(к2-р2) +4п2р2 -h2np + hx(k2-p2)

sin pt

 

(1.3.10)

cospt.

{k2-p2} +4«V Найдем скорость:

jc = -ne~nt(cx coskxt + c2 sinkxt) + e~nt (-kxcx sinkxt + c2kx coskxt) +

sin pt.

Ык2 -p2) + hx2np]p    h2np+hx(k2 -p2)]p (1.3.11)

(k2~p2) +4n2p2

xL-i      і           l_C0Spf + l      і           UL.^in nt

[k2-p2) +4«V

Воспользовавшись начальными условиями:

^j /=0 ~ -^о»/=о ~ -^о ? получим согласно (1.3.10) и (1.3.11):

2nph-hx(k2-р2)

cx -x0 +

(k2~p2) +4«V _x0 + nx0 | rfenph+hx(k2-p2)}}p    h(k2-p2) + hx2np}p

с, =

(k2-p2) +4n2p2    kx(k2-p2} +4«V

После чего находим искомое решение:

х = e~nt

+ e~nt

*i         J        (k2-p2} +4n2p

^2nph - hx(к2 - p2 jjeosA^t + ~-2nj^hr - hxp) -

-{к2 -p2yjtxn + hp)smkxt^ +

^          .        Xn + WCr)   . ^

(1.3.12)

x0 coskxt + — -smk^

[k2-p2} + 4n2p2 i^k2 -p2) + hx2np sinpt-^hlnp-hx{k2 -p2)JcosptJ. Напомним, что здесь h = CJc , hx - InpC,,

Ограничимся только вынужденной составляющей решения, то есть

х2 = A sin(/?/ - у), (1.3.13)

где

Jh2+hx2

^(k2-p2f +4п2р: hlnp-hx{k2-р2}

А= ,     ^    л 1        ; (1.3.14)

.2 2

^   h(k2 -р2} +hx2np

Если подставить величины h и hx в формулу (1.3.14) и ввести относительные параметры \% =     , v = п/к, то получим:

^_    сУ*4 + 4кУ     _   J    l + 4v2x2

yl{k2-p2J+4n2p2     Щ-Х2У + 4vV * Здесь коэффициент амортизации цс = Д/С,, таким образом, он совпадает с коэффициентом передачи усилия основанию при виброизоляции.