Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 757


1.2. защита основания от действия произвольной периодической силы

Пусть на систему виброизоляции действует произвольная периодическая возмущающая сила, имеющая период Т:

Ф+1) = Ф). (1.2.1)

Разложим силу Q(t) в ряд Фурье:

Q(t) = m — + Х(а7 cos у'©/ + bj sin у©/) 2 7=1

(1.2.2)

со

2n/a

где m - масса виброизолируемого объекта; a, = — f (Xt)cosj&tdt, і - 0,oo;

©

2я/ю

I <2(/) siny©ft#, у = l,oo; © = 2\%/T.

 

Обозначим cij - hj sinp7, bj - hj cospy. Тогда ряд (1.2.2) перепишется в виде:

00

Ф) = m h0 + £ A, sin(y©f + ру)

7=1

(1.2.3)

где hQ hj =      + £2; р7 = arc/g^-.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний под действием возмущающей силы, определяемой рядом (1.2.3).,будет:

00

х + 2пх + к2х = hg + Y,hj sin(y©f + p7). (1.2.4)

7=1

Ограничимся рассмотрением чисто вынужденной составляющей, которую будем искать также в виде ряда Фурье:

х - хо + lbxj sin(/'©/ + р, - Zj). (1.2.5)

7=1

Если воспользоваться принципом суперпозиции, то, согласно решению (1.1.11), получим:

ht

h0 «

MMk2-jV)An2) ©:

sin(y©? + P7-87), (1.2.6)

где s =arctg

кг - jW

Если осуществляется одно из условий:

У© =ft,j= 1,00 ;

то, как следует из выражения (1.2.6),имеет место резонанс первого, второго или высшего порядка.

Исследование действия произвольной периодической возмущающей силы не содержит принципиальных трудностей. Если возмущающая сила Q(t) имеет

разрыв, то ухудшается сходимость ряда (1.2.2),и следует брать большее число членов этого ряда.

В качестве примера представления периодической возмущающей силы в виде ряда Фурье рассмотрим силу Q(t), описываемую функцией вида (рис. 7):

25+ 1

Qm,sT<t<-y-T; -Qm,^<T<sT,s=0,±,±2,...

 

График этой функции приведен ниже. Это нечетная функция, поэтому все коэффициенты Qj равны нулю.

ад

Т/2

JQmsmj®tdt

 

 

Т/2

 

О

 

 

Т/2

1 -т/2 4 т/2

= - jQmsmj&tdt = 1 о

Подпись: 0,у = 2«; 40

Подпись: тс
m

 

 

J: = 2л-1,»= 1,оо.

Подпись: 40
Подпись: 	/И
Я Я=1
Рис. 7

Следовательно,

" sin(2«- 1)со/ — 2,—^—г—, «=1,оо.

2/1-1

В качестве другого примера рассмотрим пилообразные колебания:

к=1т&1*Щ±Т,, = 0, ±1*2,... График этой функции изображен на рис. 8.

 

А

■ Т/2

Qm

 

Т/2

 

 

 

0

-Qr

 

Эта функция также нечетная, поэтому:

Т/2

2Q„

a j = О,

1  Т/2 1

/sin jcntdt =

Рис. 8

 

Таким образом, в случае пилообразных колебаний

 

ТС

1          . -    1 . ,    1 . л

sin©/ — sin 2(0/ + - sm Зо/ — sm 4ю/+...

2          3          4 У