Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 759


1.1. защита основания от вибраций

Вначале рассмотрим защиту основания от вибраций, то есть систему виброизоляции (рис. 1). На рис. 1 изображен амортизированный объект массой т. Коэффициент жесткости виброизоляции и коэффициент демпфирования соответственно равны с и Ь.

 

 

 

1 Q=Hsinpt

x

 

m

О

т

 

С <> ь

 

7777777

P=mg

 

V

Рис. 1

На рис. 1: Fc - упругая сила; Fv - сила вязкого сопротивления; Р - rrig - вес объекта; Q = Я sin pt -возмущающая сила.

Упругая сила, если пружина подчиняется закону Гука, находится по формуле:

Fc=-cX.

Здесь X - деформация пружины. Если начало отсчета взять в положении статического равновесия, то проекция Я, на ось Ох будет:

X = х - Xst,

где х - отклонение от положения статического равновесия; Х^ - статическая деформация пружины. Следовательно,

Fcx = -ф-^)-

 

Проекция на ось Ох силы вязкого сопротивления, учитывая, что v = х, будет:

Fvx=-bx. Согласно второму закону Ньютона:

mx = Q + Fcxz + F^ -Р = Нsinpt-c{x-Xst)-

-bx- P = Я sin pt-cx-bx, так как P = cXst. Откуда получаем дифференциальное уравнение движения амортизируемого объекта:

mx+bx+cx = Hsmpt. (Ill) Поделив (1.1.1) на m получим уравнение в стандартной форме:

х+2пх+к2х = hsinpt, (1.1.2)

где к - J— - собственная частота колебаний; п = — ;/* = —.

V m      2m m

Уравнение (1.1.2) является линейным неоднородным уравнением второго

порядка с положительными коэффициентами. Его решение складывается из

общего решения соответствующего однородного уравнения    и частного ре-

 

шения неоднородного уравнения х2 ■

Будем рассматривать случай относительно малого трения, когда к > п. Общее решение однородного уравнения хх хорошо известно:

jcj = e"ni(cxcoskxt +c2sinkxt), (1.1.3)

где сх,с2 - постоянные интегрирования; кх = V&2 - п2 - частота собственных затухающих колебаний.

Частное решение 'х2 будем искать в виде:

х2 - Ах sin/?/ + А2 cospt. (1-1-4) Здесь Ах и А2 пока неизвестные постоянные.

Подставляя (1.1.4) в уравнение (1.1.2) и, приравнивая коэффициенты у одноименных тригонометрических функций, получим:

l-p2 + к2)Ах- 2прА2 = h;

/        v (1-1.5)

2прАх+{-р2 + к2)А2 = 0.

Решая систему (1.1.5) найдем:

Аі.     ^-/ї    -.л,-          . (1-1.6)

(к2-р2) +4п2р2           (к2~Р2) + 4wV

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения,        согласно (1.1.2),

(1.1.4) и (1.1.6)даково:

х = e~nt(cx coskxt+ с2 sinkxt) +

Ь(*г-Рг)        .  2прН O-l-T)

+          і           J           Sln Pl   f           COSpt.

(k1 - p2) +4n2p2         (k2-p2} + An2p2

Найдем скорость:

jc = -ne~nt{cx cos kxt + c2 sin kxt)+

+ e~nt(-cxkx sinkxt + c2kx coskxt)+ (1.1.8)

hpk2-p2) 2nhp2

+ -,              X2           c°s pt + 7         ф          sm pt.

(k2 -p2) + 4n2p2         (k2 -p2)+ 4n2p2

Воспользовавшись начальными условиями:

*|*=o - x0>x =0 = x0>

получим согласно (1.1.7) и (1.1.8):

Таким образом, искомое решение будет:

 

 

+ е

 

-га

х = е hp

-nt

 

х0 cos Јj/ + —        sm kxt +

 

2и cos kxt + — [ги2 - (Л:2 -/?2 )]sin ^/

 

>+ (1.1.9)

+ ■

 

[(&2 - /?2)sin   - 2ир cos pt

(t2~/?2)2 + 4#iV

По истечении некоторого промежутка времени, из-за влияния множителя

е , существенную роль в полученном решении (1.1.9) будут играть только два последних слагаемых, то есть частное решение:

h

\%2 ~

2 2 ' Р

~ /?2)sin pt — 2пр cos /?/]. (1.1.10)

(#2 - p2J + 4п

Выражение (1.1.10) описывает чисто вынужденные колебания Если ввести обозначения:

2nph

- Asmy

h(k2-p2)

- Acosy;

{к2-р2) +4nzp2           (к2-р2) +4п2р4

(1.1.11)

то вместо формулы (1.1.10) получим:

х2 = A sin{/7/ - у),

где

(1.1.12)

h

А =

■\{к2 -Р2)2 +4п2р2 амплитуда вынужденных колебаний;

2пр

у = arctg--        -

к - р

(1.1.13)

сдвиг фазы между перемещением и возмущающей силой при установившихся

вынужденных колебаниях. 8

Исследуем амплитуду вынужденных колебаний, определяемых формулой (1.1.12).

X         Разделим числитель и знаменатель (1.1.12)

5 I        I           I    :    I       на к2:

, (1-1.14)

^(і-Х2)2 + 4і)2х2

где А0=Аг-— - статическая деформация

к с

пружины от действия силы Н, равной амплитуде возмущающей силы; \% - — - рас-

о

к

п

1.5   X  стройка; v =   коэффициент, характери-

к

зующий действие сил сопротивления. Величина X, равная отношению А/А0 у 1

(1.1.15)

A|(l-X2)2 + 4u2x2

называется коэффициентом динамичности.

Выясним, при каких значениях коэффициент динамичности X будет иметь   максимум   и   минимум.   Для   этого   исследуем зависимость

/(х) = (l-X2)2 +4и2х2 на экстремум. При /(х)тах получим ?imin и, наоборот^

при /(x)min будет Хтак. Найдем производную /(х) и приравняем ее нулю:

2(l-X2)(-2x) + 8i)2x = 0.

Корни этого уравнения:

Xi = 0;x2=Vl-2v2. При малом сопротивлении среды, когда п<к, \%2- вещественная величина. Найдем вторую производную:

/"(x) = -4(l-3x2) + 8u2.

При г = Хі>/"(Xi) = 4(2v2 -1) < 0; при \% = \%2, f"(\%2) = я(і- 2v2) > 0. Таким

образом, при x = Xi >/"(x) имеет максимум, а при X = X2 ~ минимум.

Следовательно, у коэффициента динамичности А, первая точка Xi = 0 -

минимум, а вторая точка \%2= Vl-2v2 - максимум. В-яачале амплитуда вынужденных колебаний возрастает, а затем падает. Ее максимум смещен от резонанса в сторону низких частот. Максимальное значение коэффициента динамичности:

Подпись:
При значениях \%г - 0, когда v = 1/V2, максимум у коэффициента дина-

мичности исчезает,и с увеличением частоты возмущающей силы Р коэффициент динамичности будет монотонно убывать.

Рассмотрим зависимость от частоты сдвига по фазе у между вынужденными колебаниями и возмущающей силой. Для этого перепишем формулу (1.1.13) в виде:

y = arctg^.. (1.1.16) 1-Х

При значении расстройки \% = 1 имеем /gy = °°, следовательно, у = тс/2. То есть при резонансе фаз сдвиг равен тс/ 2; при \% = 0 и х = 00 независимо от v имеем у(0) = 0; у(оо) = тс.

Установим характер изменения функции у = y(v). Для этого найдем производную:

Подпись:

(1.1.17)

где X - коэффициент динамичности, который вычисляется согласно формуле (1.1.15). Поскольку производная (1.1.17) положительна при любых значениях X, то у положительно растущая функция от нуля до тс (рис. 3). При v = 0, у -разрывная функция, имеющая значения у = 0 при \% < 1, у = тс при \% > 1.

При наличии неуравновешенных вращающихся масс, например роторов электродвигателей, возникает возмущающая сила, амплитуда которой зависит от угловой   скорости вращения

h - hxp . Амплитуда вынужденных колебаний согласно формуле (1.1.12):

.(1.1.18)

 

Коэффициент динамичности А,*, равный отношению А/А0, где А0 = hx

будет:

^(l-X2)2 + 4vV

 

 

1

 

 

1

 

 

+

 

4V<

(1.1.19)

и равен (рис. 4):

где x = p/k - расстройка. Как видно при \% = О, X = О, при \%-<х>,Х =1.

1

Максимум X достигается при \%

Vl-2v:

'max

2vVl-v2 '

то есть Хтак - XmSK.

Фазочастотная характеристика не зависит от амплитуды возмущающей силы, поэтому имеет тот же характер, что и для случая h = const (рис. 3).

Рассмотрим передачу усилия основанию. Если пренебречь силами сопротивления, то коэффициент динамичности:

1

1-Х

2 *

О

 

Рис. 4

Амплитудное значение динамического перемещения будет:

А = А0Х,

где А0 = Н/с.

Следовательно, амплитудное значение передаваемого основанию усилия:

1

F = H

1-Х'

Уменьшение передаваемого усилия по сравнению с амплитудой Я возмущающей силы произойдет, если

1

< 1, то есть \%> V2. (1.1.20)

1-Х'

Иными словами, частота возмущающей силы должна быть, по крайней мере , в

V2 раз больше собственной частоты к = J—. Усилие, передаваемое основа-

V т

нию,будет тем меньше, чем больше величина х (рис. 5).

F

На рис. 5 jli =  коэффициент передачи усилия на основание. Штриха-

Н

ми показана область виброизоляции. Если амплитудное значение силы пропорционально квадрату возмущающей частоты, то согласно формулам (1.1.18) и (1.1.19):

 

F=cA = сА(Х - с—

1-х2 1-х2'

где #! = hxm.

Следовательно, чтобы F < Нхр27 необходимо выполнить то же самое условие (1.1.20).

и-6

 

X

 

.(1.1.21)

Наличие сил трения существенно влияет на рассмотренную картину передачи усилий особенно вблизи резонанса. В этом случае полное усилие, передаваемое основанию, складывается из двух сил: упругой силы и силы вязкого сопротивления: F(t) = Fcx+Fvx=cAsw(pt-y) +

+bApco^pt-y) Нетрудно видеть, что амплитуда силы F(t) будет:

F=Ayjc2+b2p2 =HXyjl + 4v2x2 .

Коэффициент передачи усилия фундаменту jul = F/H имеет вид:

Vl + 4vY

(1.1.22)

A/(l-X2)2 + 4vV

Зависимость этого коэффициента от величины расстройки х дана на рис. 6.

При х = V2 коэффициент передачи усилия равен единице. При \% > V2 -jli< 1 и стремиться к нулю тем быстрее, чем меньше v.

Таким образом, трение ухудшает работу виброизоляции вдали от резонанса, но существенно уменьшает опасность самого резонанса.