Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 775


3.3. случайные колебания амортизируемого объекта при вибрации основания

Дифференциальное уравнение сложного амортизируемого объекта при произвольном движении основания в матричном виде имеет вид:

тх + Ьх + сх = си+Ьй, (3.3.1) где т- матрица масс; Ь- матрица рассеяния энергии; с- матрица жесткостей системы; х- вектор перемещения амортизируемого объекта; и - i4J)- вектор перемещения основания.

Решая задачу о вынужденных колебаниях при и = Uemt, где U - вектор амплитуд гармонических колебаний основания, строим амплитудно-фазо-частотные характеристики. Для этого решаем систему уравнений:

(-шсо 2      + с^Х = (с + i(ob)U, (3.3.2)

где Х- вектор амплитуд колебаний. Формально решение системы (3.3.2) можно записать в виде:

X = (-/«со2 + /со + с)'с+ mb)U « ±   k'(c + i(0b)U   , (з.з.з)

v          '           і=і -Т2І® + 7^/со +1

где п- число степеней свободы системы. Величина

 

ыТ£р* + TliP+l

представляет собой передаточную функцию системы.

Как было замечено, преимуществом записи (3.3.3) является то, что не все члены под знаком суммы равноправны. В выражении (3.3.3) реально проявляются не более трех-четырех членов.

Если известна передаточная функция интересующего элемента амортизируемого объекта и спектральная плотность 5м(со) случайного воздействия со

стороны основания си + Ьй, тогда для спектральной плотности перемещения в интересующей нас точке получим следующее выражение:

Sx. =|^(/ш)|25Дю) = [яе^/со)2 +ImPF(/co)2 Su((o),   (3.3.5)

где

m к,(1+Т},<а2)

RePF(/co) = £-            Л    J   ;    ;       (3.3.6)

i=i(l-r22co2J +7i2co2

bn»tto)«2-                    JJ (3.3.7)

7=і(і-Г22ш2) +Г2ш2

Для подсчета |^(/co)| можно воспользоваться как формулами (3.3.6) и (3.3.7), так и формулой

 

t=i i=i ^- Г2/СО 2 + /Г1гсо + 1Д- Г2> 2 - /Гусо + 1}

Рассмотрим определение корреляционной функции стационарного случайного колебания некоторого элемента упругой системы амортизируемого объекта. Пусть колебания некоторого элемента описываются дифференциальным уравнением:

Q„(p)X(t) = Pm(p)u, (3.3.9) где р- оператор дифференцирования; u=u(t)- случайное возмущение, обладающее свойствами белого шума.

Qn(p) = pn+axp"-l+...+an- (3.3.10)

Рт(р) = b0pm + blPm-l+...+bm. (3.3.11) Коэффициенты многочленов (3.3.10) и (3.3.11) постоянны, при этом т<п. Согласно общей формуле спектральная плотность выходного сигнала будет

 

=L^Lc, (3.3.12)

Q»H

где с2- спектральная плотность сигнала и. Корреляционная функция /^(т) находится как обратное преобразование Фурье:

 

1\% -оо йпЩ

Интеграл (3.3.13) вычисляется в конечном виде с помощью теоремы вычетов.

Найдем корни характеристического уравнения:

Q„(X) = 0. (3.3.14) Обозначим их Хх, А.2,...,А,„. Тогда знаменатель в формуле (3.3.12) можно представить в виде:

пЫ2 =П(-^+ /ш)(-Л-*-i®) = R„(iG>)R*(-iG>), (3.3.15)

 

где R„(i(o) = П(~^7 + /ю)' ^»(~/0)) = П(~^* ~— комплексное сопря-женное Я, j .

Так как рассматривается устойчивая система, то вещественная часть всех корней Xj- отрицательная. Поэтому многочлен R„(z) комплексного перемещения z будет иметь корни в левой полуплоскости, а многочлен R*(-m)~ в

правой полуплоскости.

Вместо интеграла (3.3.13) рассмотрим интеграл от функции комплексного переменного г:

dz.

Подпись: ■fe"

(3.3.16)

2т[ Rn{z)Rn(-z) где Pm{z)~ полином от z, полученный заменой /со на z. Контур L состоит из отрезка мнимой оси, замкнутого полуокружностью радиусом г, расположенном в левой полуплоскости. Так как R^x) = R^-x) для вещественного процесса, то достаточно рассмотреть т одного знака. Пусть т>0.

В первой полуплоскости при X < 0, е1" меньше единицы, а модуль дроби

 

при росте z стремиться к нулю не медленнее чем q>/|z|.

Тогда, при т -> оо, часть интеграла (3.3.16) по окружности будет стремиться к нулю, а сам интеграл (3.3.16) будет стремиться к интегралу (3.3.13). Поскольку под знаком интеграла (3.3.16) находится аналитическая функция комплексной переменной z, то сам интеграл равен сумме вычетов с_у относительно полюсов этой функции, лежащих

в левой полуплоскости, умноженных на 2жі. Так как корнями знаменателя, являющимися этими полюсами, будут корни полинома R„(z), то для нахождения вычета c_XJ соответствующего 7-му полюсу, достаточно умножить интегрируемую функцию на (z~ Xj} и положить затем z = Xj. Тогда для т > 0 получим:

п .    pjxiSpJ-x j)

M n(^-^KK)

 

(3.3.17)

Здесь учтено, что dz = idm. Для нахождения /^(х) при т < 0 берем вместо (3.3.17) его комплексное сопряженное значение и меняем знак х. Для нахождения дисперсии полагаем в (3.3.17) х = 0:

 

(3.3.18)

 

Формулы (3.3.17) и (3.3.18) применимы, если спектральная плотность входного воздействия отличается от белого шума.

Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы:

X+ 2пХ + к2 X = \%{{),

= с2 = const; (3.3.19) с2 с2

(-со2 + 2шсо + k2J   (со2 -k2J + 4w2co2 Воспользуемся общей формулой (3.3.17). Соответствующее характеристическое уравнение будет

Х2 + 2пХ + к2 = 0,

Xi = -n + i^k2 -п2 = -п + ikl, к2 = -п-і4к2 - п2 =-п+ ік.

Тогда

Подпись: 1Подпись: Rxx(*) = 2nc2<+

-2ікх{п - ікх + п + ік^п - ікх + п + ік{) 1

(-»-/£,)т

с2е~т

-2ікх {п + ік1~п+ік1п->гік1->гп-ік)) [(cos^x + / smk]X)Kn + iki) - (cos^x - /' этк^^п - і^)]

Щп(п2 + kf)

с2е~т    (    ,      п . ,)

            т—      -г  COSAr,X + —SlIl&.X .

4п(п2+к2){     1    *і 1)

 

При этом /^(0) представляет собой среднеквадратичное отклонение.