Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 780


3.2.2. спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса

Прямое преобразование Фурье от автокорреляционной функции дается формулой:

-00

4^(т)] = ^(/ш)= JR^e^dx. Для эргодического процесса:

 

(3.2.2)

 

Подпись: 1 т
т-*«>Т0
Подпись: Преобразование Фурье:

Подпись: = lim -x(t)emdt Ixlt + х)е'<м)(Н =
Г->СО T Q
00

*[*,(т)]=Шп?/

-00

 

} x(t)x(t + x)dt

о

-00

00

 

emxdx =

Подпись: 1lim - f x(tҐmtdt

1

jc(/co) = lim — x(- /co)x(/co) =    (/со) > 0.

Г->оо T

Таким образом, 5^(/ф)~вещественная положительная функция и поэтому является спектральной плотностью R^xj.TaK как корреляционная функция представляет собой четную вещественную функцию, то формулу (3.2.2) можно записать в ином виде:

00

$хх 0©) - 2 J Rxx (x)cos mxdx.

В силу обратного преобразования Фурье

1 00

Rxx(x) = ^lSxx(im)ei^dm

 

 

(3.2.3)

При х = 0 из (3.2.3) получаем:

R^O) = x2(t) = ~ jS^dm. (3.2.4)

—00

Следовательно,    (/со) определяет среднюю мощность стационарного сигнала.

Поэтому спектральная плотность автокорреляционной функции называется спектральной плотностью мощности.

Если среднее значение стационарного сигнала x(t) = 0, то x2(t) = <s, где q- дисперсия, то есть

I = -L KHtfco . (3.2.5)

27t-oo

—00

 

3.2.3. соотаошЕНия МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНЫМИ плотностями Пусть на вход системы действует стационарный случайный процесс x(t),

имеющий спектральную плотность мощности    (/со).

Этот процесс вызывает на выходе системы стационарный случайный сигнал y(t) со спектральной плотностью мощности Syy(im).

Введем в рассмотрение взаимные спектральные плотности мощностей 5^(/со) и Syg^ka) сигналов х иу по формулам:

00

^(/со) = JR^e'^dx; (3.2.6)

-00 00

^(/со)= R^(x)e-^ck. (3.2.7)

-00

Поскольку Rxy(x) = Ryx(x), то ^(/со) = 5^(-/со) и 5^(/со) = ^(-/со). Действительно,

00        00 —00

S^(to)= JRxy(x)e-*"<k= |^H)e-*d(-x)= Jj^(t,).^-"')*i =

—00    —00 00

-00

Найдем связь между (/со) и ^(/со). Согласно определению S^- прямое преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции входа и выхода

 

00

^(/со)= J/^(x)e-*"A= |е-'-Л|0(М)^(т-М)^ =

—00    -00 о

 

(3.2.8)

-ти

Л/=^(;ш)5„(/ш).

-00

-00

При выводе выражения (3.2.7) учтено, что

00 00

\&(и)е~шс1и = JQ(u)e-imudu = PF(/co), (3.2.9)

о -00

так как x(t) = 0 при t < 0 и, следовательно, 0(*) = 0. Кроме того, учтено, что

 

-00 -00

Выражение (3.2.9) называется передаточной функцией динамической системы или динамического звена. Аналогично устанавливается связь Syy(/со)

и^(ко):

-00

(3.2.10)

 

 

-00

Автокорреляционная функция /^(т) является четной. Ее преобразование Фурье ^(/со), представляющее собой спектральную плотность мощности входного сигнала, тоже четная функция со, то есть

 

Воспользуемся формулами (3.2.8) и (3.2.10) для установления связи между

(3.2.11)

Syyim) = И^йв)5^(йв) = РГ(/ш)^(-/со) =

= PF(/co)^(-/co)^(-/co) = W(i&f S^i&y

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса может быть найдена прямым преобразованием Фурье для автокорреляционной функции этого процесса, которую находят либо из теоретических соображений, либо путем обработки   реализации случайного процесса коррелятором, структурная схема которого для нахождения импульсной переходной функции показана на рис. 31. Если же необходимо найти, например, /^(т) то преобразование случайного процесса осуществляется по схеме рис. 35. Согласно (3.2.4) по аналогии имеем:

М°) = W)2 = ~ ISyyHd® = ~ ||Я^ш)|25в(«в)А» = о*. (3.2.12)

—00 —00

То есть для нахождения среднеквадратичных отклонений необходимо вычислять интегралы по формулам типа (3.2.12). При этом передаточные функции часто выбирают из условия минимума этих отклонений.