Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 758


3.1.9. автокорреляционная функция

Рассмотрим ансамбль реализаций случайного процесса х. Величина Rxx, представляющая среднее значение произведения двух ординат процесса, разделенных промежутком времени называется автокорреляционной функцией:

00 00

Д**(Мі +       J J*і*2фі('і)>*2('і +#М*2 • (3.1.39)

-00—00

Если ординаты статистически не связаны, т.е. пульсируют независимо и их среднее значение равно нулю, то

00 00

Да (Мі +т)= 1хР(х1>1і)<Ьі Х2Р2(Х2>Н +Т)<&2 =*І*2 = °- (3-1.40)

-00 -00

Пусть между jcj и х2 есть статистическая взаимосвязь. Если, например, х1 и х2 чаще пульсируют в такт, то Rxx > 0. Если же они пульсируют в противотакт, то < О. У стационарного случайного процесса автокорреляционная функция Rxx не зависит от начала отсчета, а зависит от параметра сдвига:

 

-00 —00

Кроме того, для стационарных процессов справедлива гипотеза эргодичности, согласно которой осреднение по ансамблю совпадает с осреднением по времени: х(7)х(Т + J) = x(t)x(t + т).

Автокорреляционная функция в развернутом виде записывается так:

I т       

Rxx(t)= lim — x(t)x(t + x)dt = x(t)x(t + x). (3.1.41) т-*»Т0

Формула (3.1.41) служит для экспериментального определения автокорреляци-

t

онной функции.

Пользуясь определением автокорреляционной функции^можно дать более строгое определение случайного процесса, стационарного в широком смысле.

Случайный процесс стационарен в широком смысле, если его автокорреляционная функция не зависит от начала отсчета, а зависит только от параметра сдвига.

Рассмотрим некоторые свойства Я^Дт) для стационарного случайного

процесса:

1 при т = 0, Rxx(0) = х2 ~xzv то есть /^(0) равна мощности случайного про-

цесса.

R^x) = /^(-т), т.е. является четной функцией.

/гв(о)>лв(х).

при т -> оо jfj и х2 становятся статистически независимы, т.е.

Р(х1,х2,х)^Р(х1)Р(х2).

Тогда (см. рис. 28)

00 00

^Hs      х2Р2(х2)(ІХ2 = (*)2(*)2-

•00

Для белого шума характерным является отсутствие статической связи соседних ординат. Поэтому R^x * 0) = 0, а при

т = 0,  Rxx(0) = \%2. Эти две формулы

можно объединить в одну, если воспользоваться 6 -функцией

/Ut) = J28(t). (3-1.42)

Вычислим автокорреляционную функцию сигнала:

z - x(t)+ A cos(o/ +

 

(3.1.43)

 

где x(t)- стационарный сигнал с нулевым средним значением.

Rzz (т) = [x(t)+ A cos(co/ + S)J{*(/ + i)A cos[co(* + т) + в]} = = x(t)x(t + т)+ x(t + х)А cos(co/ + в)+ x(t)A cos[co(/ + т)+ $J+. (3.1.44)

+ A2 cos(cof + e)cos[co(l +1)+ ej Первое   слагаемое   представляет   собой   автокорреляционную функцию Rjcx ~ x(t)x(t + т). Второе и третье слагаемые равны нулю из-за отсутствии корреляции между сомножителями. Последнее слагаемое находим непосредственным интегрированием:

11

A2 lim — fcos2(co* + 0)coscoTdr =

J->00 7

v4 cos cot

Следовательно,

 

 

(3.1.45)

При t —> со, R^x) -> 0. Следовательно, вычисляя автокорреляционную функцию, можно выделить детерминированную часть сигнала, даже если уровень помех превосходит ее амплитуду. График зависимости (3.1.45) показан на рис. 29.

Рис. 29