Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 757


3.1.8. ковариация и коэффициент корреляции

Под ковариацией К{хх,х2) двух случайных величин ху и х2 понимается среднее значение произведения отклонения этих величин от их средних значений. Если, например, хх и х2 представляют собой составляющие двумерной случайной величины, например, значение ординат ансамбля реализаций стационарного случайного процесса в моменты ty и t2 = h + т»то

00 00

К(хих2) = J j(xx ~хх)(х2 -Х2)Р(хъх2)<кх<к2 . (3.1.37)

-00 —00

Согласно формуле (3.1.37) ковариация представляет собой центральный смешанный момент составляющих хх и х2 двумерной случайной величины.

Ковариация характеризует статическую связь между хх и х2. Если же хх и х2- независимые случайные величины, то ковариация К(хх ,х2) равна нулю. Действительно, для независимых случайных величин

Р(хх,х2) = Р(хх)Р(х2).

Откуда

00 00

K(*i>x2)= И*іХ*і        И*гХ*2 -X2)dx2 = (*, -*,Х*2 -^2)= 0.

—00 —00

Если ковариация К(хх,х2) не равна нулю, то это свидетельствует о наличии статической связи между хх и х2.

Однако ковариация зависит также от дисперсий этих случайных величин. Об этом можно судить из того факта, что, если хх и х2 жестко связаны, т.е. хх =х2,то

                        2 2

К(Х,Х2) = (хх -ЈiX*2 ~\%l) = (*1 ~^l)   = °1 >

т.е. является дисперсией величины хх = х2.

Величиной, не зависящей ни от каких других факторов, кроме степени статистической связи между хх и х2, является коэффициент корреляции:

pfc,,2)s*M. (3.1.38)

Статистическая связь между случайными величинами хх и х2 может наблюдаться на диаграммах разброса (рис. 27). При независимости величин х1 и х2 точки распределяются более или менее равномерно по всей плоскости (х{,х2). При сильной зависимости точки группируются вблизи кривой, представляющей функциональную характеристику этой зависимости. При изучении случайных процессов в линейных системах точки группируются вблизи прямой линии, то есть также получается линейная зависимость между х1их2.