Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 775


3.1.6. среднее значение. гипотеза эргодичности

Для непрерывной функции x(t) независимо от того, является ли она случайной или детерминированной, осреднение по времени описывается формулой:

1 т

х = lim-Ыфй, (3.1.24)

 

где Т- интервал времени, на котором производится осреднение. Аналогично определяется осреднение по времени некоторой функции *:

f{x)=l^j]f(x{t))dt. (3.1.25)

Наряду с осреднением по времени возможно осреднение случайной величины

по ансамблю. Суть его заключается в следующем. Пусть имеется п одинаковых

генераторов случайного процесса. Среднее по ансамблю будем находить по

следующей приближенной формуле: 58 у( )=*,(<0)+л:2Ы+...+*„Ро) (3126)

В этой формуле ряд выходов может оказаться очень близким друг к другу. В качестве критерия возьмем полоску шириной Ах. Затем подсчитаем число выходов в диапазоне xx(t0)± Ах, х2(*0)±^* и тд- Пусть эти числа выходов будут соответственно щ, п2 и т.д. Тогда последнюю формулу можно записать так:

т=пМ'оУп2хг{Чу...+п,хп{Ч)

п

где щ + п2+...+«, = п. Если устремить и->оо,аДх->0,то получим, что

^- = Р(хЛсЬс, п

где Р(х,)- плотность распределения случайной величины при х = xt. Следовательно,

00

Jt(*o)= xP(xi)dx. (3.1.28)

-00

Формула (3.1.28) распространяется на ансамбль функций /[*(*0)]:

00

/[*('<>)]= f{x)P{x)dx. (3.1.29)

-00

Для стационарного случайного процесса среднее по ансамблю не зависит от момента времени:

x(t0) = X(tl) = X(tz)=..., где t0, tx, t2,...~ произвольные моменты времени, в которых осуществляется осреднение.

Для многомерных случайных величин осреднение по ансамблю можно производить, например, для произведений ххх2, XjX2x3 и т.д. Например,

00 00

ЗД=| xxx2P(xx,x2,x)dxxdx2, (3.1.30)

-00 -00

где х - интервал времени, разделяющий произвольные моменты tx и t2 при осреднении по ансамблю. Для этих же величин среднее по времени будет

             I т

xxxz - Ym—x(t)x(t + x)dt. (3.1.31)

Для стационарных процессов справедлива так называемая гипотеза эргодичности, заключающаяся в том, что среднее по времени полагают равным

среднему по ансамблю, то есть х = X, ххх2 = ХХХ2 и т.д. Поэтому в дальнейшем

осреднение как по времени, так и по ансамблю, для стационарных процессов всюду отмечается чертой.

Физическим примером, делающим гипотезу эргодичности ясной интуитивно, может служить броуновское движение. Действительно, средняя скорость броуновской частицы может быть найдена путем мгновенного замера скоростей всех частиц и их осреднения, что соответствует осреднению по ансамблю. Можно длительное время замерять скорость одной частицы, а затем осреднить ее по времени. Оба результата, как это следует из наблюдений, должны быть равны в пределах погрешности измерения.

На основании гипотезы эргодичности ансамбль реализаций стационарного случайного процесса может быть получен, разрезав реализации случайного процесса на несколько частей.