Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 780


3.1.5. примеры распределения случайных величин нормальная плотность вероятности.

Если какая-нибудь случайная величина х зависит от множества случайных причин и является функцией их суммарного действия, то обычно, как показывает опыт, такая случайная величина имеет плотность распределения, описываемую выражением:

1/ -л2 1/ х-х\%

Р(х) = -±==е 2Voy , (3.1.19)

где       х = lim *i+*2+ ■■■ + **_ (3.1.20)

среднее значение случайной величины;

a=lim>-?)2+fe-?)2+ - + (*"-?>2- (3.1.21)

и—>оо у п

среднеквадратичное отклонение случайной величины от среднего значения.

Выражение (3.1.19) представляет собой нормальный, или гауссовский закон распределения случайной величины.

Пример распределения отличного от нормального.

Помимо нормального закона распределения возможны и другие. Определим, например, плотность вероятности прямоугольной волны постоянного периода, фазовый угол которой - случайная величина, причем все значения фазы равновероятны. Из ансамбля таких волн (рис. 24) видно, что случайная величина х с равной степенью вероятности может принять лишь два значения +а и -а. Следовательно, кривая плотности вероятности Р(х) (рис. 25) локализуется в этих двух точках и имеет вид импульсной функции величиной 1/2, т.е.

Р(х) = -Ь(х + а) + ~д(х~а).

х

Распределение Пуассона.

Пуассоновский процесс заключается в следующем. Пусть вероятность появления события в некотором малом интервале времени пропорциональна длине этого интервала:

P(At) = P(t; / + Д*) = рД/.

Если At -> 0, то это исключает возможность появления внутри At более одного события. Предполагается, что факт появления или непоявления события в интервале At не зависит от событий во всех других интервалах. Примером случайных событий, удовлетворяющих указанным условиям, являются вызовы на

телефонной станции. Найдем вероятность того, что в интервале Т событие не произойдет. Пусть эта вероятность Р0(Т).

Р(х)

Шб(х-а)

Шб(х+а)

Так как событие в отдельных интервалах предполагаются независимыми, то используя формулу для совместной вероятности независимых событий (3.1.9).,можно за-,  писать, что вероятность отсутствия события 0        а       х   в интервале [О, Т +АТ] равна:

Р0(Т+АТ) = Р0(Т)(1-$АТ),

Рис. 25            где 1 - рАГ- вероятность отсутствия собы-

тия в интервале AT. Из последнего равенства имеем:

Р0(Т + АТ)-Р0(1)

 

при AT -> 0 получим:

AT

 

^tU + pP0(r) = 0. (3.1.22)

Дифференциальное уравнение (3.1.22) следует дополнить начальным условием. При Т = О, то есть при нулевом интервале, вероятность отсутствия события равно единице, иначе Р0(0) = 1. Тогда решение уравнения (3.1.22) при указанном начальном условии будет

Р0(Г) = <Грг. (3.1.23) Согласно формуле (3.1.23) вероятность появления пустых интервалов тем меньше, чем больше величина Г. Пусть Px(T0)dT~ вероятность появления непустого интервала между моментами времени Т0 и T0+dT. Здесь РХ(Т0)~ значение функции распределения. Вероятность отсутствия события в интервале [О, Т0] и появления события в интервале [Т0, T0 + dT] согласно формуле для произведения вероятностей независимых событий (3.1.9) будет

P}(T0)dT = e-VT$dT.

Откуда плотность распределения вероятности интервалов между событиями, генерируемые пуассоновским процессом, такова:

Р1(Г0) = Ре-^.