Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 757


3.1.3. двумерная плотность вероятности

Результат некоторого опыта может характеризоваться совокупностью нескольких случайных величин xlt, x2i,...,xni, где / - номер опыта; п- число составляющих.

Подпись:  А х-

 

[20

 

;10

о

tl

Рис. 23

Рассмотрим двумерную случайную величину. В качестве примера возьмем значение двух ординат непрерывного случайного процесса в некоторые моменты времени t и t2. Для этой двумерной системы можно говорить о совместной вероятности двух событий А и В, из которых первое состоит в нахож-

53

дении составляющей хх, измеренной в момент времени tx, внутри полоски [*io> *io + а второе - в нахождении составляющей х2, измеренной в момент t2, внутри полоски [х20, х20 + Ах2 ].

Эту совместную вероятность можно найти как отношение числа реализаций п12 случайной функции х, проходящих в моменты tx, t2 соответственно

через полоски [jt10, jcj0 4- Ajcj], [х20, х20 + Ах2])К общему числу п реализаций, составляющих ансамбль (см. рис. 23):

Рххо <=х<1 Xq + Ахх; х20 <д:<х2о +&Хг', h* t2]= lim^-.

и->оо П

Предположим, что эта совместная вероятность пропорциональна ширине элементарных полосок Ах { и Ах 2:

Р[ххо <х<:ххо + Ахх; х20 <х<х20 + Ах2; tx; t2]- Р (х10; х20; tx; t2)AxxAx2.

Коэффициент пропорциональности Р*(хх0; х20; tx; t2) при Ахх -> 0; Ах2 -> 0

стремиться к значению функции P(jc10; х20; tx /2),называемой двумерной или

совместной плотностью вероятности. Следовательно, для бесконечно узких полосок соответственно шириной dxx и dx2 получим:

Р[х10 <х£хх0 + dxx x2Q <x<x20 + dx2; tx; t2]=       (З l Ц)

= ^(^10» *20> h> h)dxxdx2. На основании формулы (3.1.11) вероятность нахождения величины х в момент времени tx в полосе [а, Ь] ив момент времени t2 в полосе [с, d] можно выразить через двумерную плотность вероятности так:

bd

P[a<x<b; c<x<d; tx t2 = \P(xx; x2 tx t2)dxxdx2. (3.1.12)

а с

Формула (3.1.12) позволяет найти выражение одномерной плотности вероятности через двумерную.

Вероятность нахождения непрерывной случайной величины х в момент времени tx в полосе [а, b] можно рассматривать как совместную вероятность

нахождения х в момент /} внутри интервала [а, Ь, в момент t2 - в интервале

[-0о, оо], то есть

Ь 00

P[a<x<b; tx] = dxP(xx;x2; tx; t2)dx2. (3.1.14)

a -oo

Откуда следует, что

00 -00

Можно двумерную плотность вероятности выразить через условную плотность вероятности. Совместная плотность вероятности событий А и В определяется формулой

Р(АВ =)Р(В/А)Р(А). (3.1.15) Пусть Р(В/А)~ вероятность прохождения случайной кривой х в момент t2 через полоску dx2 при условии, что эта кривая в момент tx уже прошла через полоску dxx. Введем определение:

Р(В/А)=Р(хх/х2;    t2)dx2, (3.1.16) где P(xl/x2; tx, t2)~ условная плотность вероятности.

Но согласно ранее рассмотренным формулам (3.1.10) и (3.1.9)

Р(АВ) = Р(хх x2;tx 2 )dxxdx2, (3.1.17)

Р(А) = Р(хх; tx)dxx. (3.1.18)

Откуда следует, что

P(xl*2> h h) = p(x2> h)>

и тогда

Р(хх; х2; tx t2)=P(xx; tx)P(x2; t2).

Все сказанное аналогично распространяется на трех,-четырех-и т.д.- мерные случайные процессы.