Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 758


3.1.2. одномерная плотность вероятностей

Во многих физических задачах приходится иметь дело с непрерывными случайными величинами. Так как число случайных значений непрерывной величины бесконечно велико, вероятность того, что эта функция примет некоторое частное значение?равна нулю.

Для непрерывной случайной функции х можно говорить о вероятности нахождения х в некоторой полоске х0, х0 + Ах. Эту вероятность можно найти следующим образом. Пусть имеется число одинаковых генераторов случайной величины х с одинаковыми статическими свойствами выходов и пусть осуществлена запись этих процессов. Совокупность этих записей называется ансамблем реализаций случайных процессов. Подсчитаем число реализаций,прошедших в некоторый момент времени tx через указанную полоску Ах на уровне х0 (см. рис. 22). Пусть п0- число реалгоаций, попавших в полоску. Вероятность «0/«, где п- число выходов, пропорциональна ширине полоски Ах:

ton     = P*(x0,ti)Ax. п-><х> п v

Коэффициент пропорциональности P*{x0Jx)    зависит от уровня и ширины

полоски Ах и при значении Дх->0 переходит в значение функции P(x0,tx),

называемой одномерной плотностью вероятности. Поэтому для полоски бесконечно малой ширины dx, находящейся на уровне х0,можно написать:

Р[х0 <x<x0 + dx,tx] = P(x0,tx)dx. (3.1.10) Найдем вероятность прохождения случайной функции х в момент tx через полоску конечной ширины [а,Ь]. Разобьем эту полоску на элементарные

полоски. Поскольку случайная функция однозначна, то одновременное прохождение ее через две различны полоски-взаимоисключающее событие и, следовательно, справедлива формула сложения вероятностей для независимых событий:

Р(А + B+...+D) = Р(А) + Р(В)+...+Р(£).

То есть для вероятности нахождения случайной величины в полосе шириной [a, b] получим формулу:

и *

Р[а<х<х0 + b,tx]= lim ^dP(xi,tx)Ax = jP(x,tx)dx.

&x—>0j—-J

№-»00

Событие, заключающееся в нахождении случайной величины в полосе шири-

00

ной (-оо, оо) - достоверное, поэтому J Р(х, tx )dx = 1.

 

X

 

Дх