Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 758


2.5.4. построение математической модели сложной механической системы

Дифференциальные уравнения динамики сложной механической системы

в матричном виде записываются следующим образом:

mu + bit + си = Fit)',

і           .і       . (2.5.40)

 

где и - вектор перемещений узловых точек системы п- го порядка: п- число степеней свободы системы; т - матрица масс; Ь- матрица рассеяния энергии; с- матрица жесткостей; F{t)- вектор возмущающих сил.

Собственные частоты и формы колебаний находятся из решения однородной системы уравнений:

тй+си = 0. (2.5.41)

43

Будем искать ее решение в виде:

u = AsiriG)t, (2.5.42) где А-вектор амплитуд колебаний. Поставив (2.5.42) в уравнение (2.5.41), получим:

(-/жо2 + с)л = 0. (2.5.43)

Однородная система алгебраических уравнений (2.5.43) имеет нетривиальное решение, когда ее определитель равен нулю:

|-шо2+с| = 0. (2.5.44)

Условие равенства нулю определителя (2.5.44) приводит к частотному уравнению п- го порядка относительно со2, которое имеет п корней, равное числу степеней свободы системы. Эта задача по существу является задачей на собственные значения. Задача по нахождению собственных форм колебаний является задачей по нахождению собственных векторов из системы уравнений:

(-nmf+cJA, =0, (2.5.45)

где со,- і - я собственная частота; Аг вектор амплитуд / - й формы колебаний.

Собственные формы колебаний ортогональны. Действительно, если умножить соотношения (-т®2 + c^At = 0 и (-юсо2 + c^Aj = 0 для 7-й иу- й

форм соответственно первое на Aj, а второе на Д, то получим:

Т (2.5.46)

^-/исо 2 + cJAj J Aj = 0,

[(-тш2+сЦ]ГЛ=0. В силу симметрии матрицы с и матрицы т имеем:

(сД)7'Aj^cAjf4;

 

Поэтому, если вычесть из первой строки (2.5.46) вторую, то окажется, что

(ю2-со2)(/иДУ^ =0.

Собственные частоты со7 и сог считаем различными. Тогда остается принять, что

т

(тА;) Aj \AAi = J

(2.5.47)

 

Aj=F(t)Aj. (2.5.51)

 

m]T at (04 + bY, cLt (04 + cЈ, at (04

L /=і     /=1 i=i

Уравнение (2.5.51) существенно упрощается, если воспользоваться условиями (2.5.47):

а/(0||л,|

г>1а*(04

Aj+^a^Aj   =FT(t)Aj. (2.5.52)

Если бы матрица Ъ была подобна матрице m или с, то второе слагаемое также упростилось бы,и система разбилась бы на независимые уравнения.

Обозначая

= 2пм и

(н)Ч

= ІПц запишем систему уравнений

и,

 

в виде:

2       п FTA.

OLj+ Ifljj OLj + ®jCLj + 2j2ntj CLi = J

 

(2.5.53)

 

Если структуры матриц b и с близки, то можно пренебречь слагаемым, содержащими Пц. Тогда вместо (2.5.53) получим:

 

aj+lnjCLj+aijaj

FT A

f J = l,n.

 

(2.5.54)

 

Преобразуем уравнение (2.5.54) по Лапласу и найдем преобразованные коэффициенты oij(p):

Подпись: 1
Подпись: VПодпись: 2 ' У
' J

 

где Т,

FT(p)Aj FT{p)Aj

4

JL

2

4

(р2+2пмр + о>2) ю2 2/і і,

; ті і =

1

(^2 + V+1)'

 

(2.5.55)

Подставляя выражение (2.5.55) в преобразованное по Лапласу решение (2.5.50),іш$дем:

А,

nFJ{p)AjAj

 

(2.5.56)

FT(p)A,A, (aJAj)f(p) При этом —^  [,J = v        и,   = kjF(p).

т2щ

 

Матрицу kj =

44

А,

 

называют матрицей коэффициентов усиления. Эта

матрица имеет диадную структуру.

Учитывая вновь введенные обозначения, перепишем формулу (2.5.56) в

виде:

 

j=T2jp +TYJp+

(2.5.57)

Рассмотрим действие на упругую систему сосредоточенной силы. Для нахождения динамического перемещения можно воспользуемся формулой (2.5.57), оставив в векторе F(p) одну составляющую. Положив р = і®, получим амшштудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ). Типичный вид такой характеристики показан на рис. 20.

Оказывается, что каждый виток АФЧХ соответствует одному члену ряда (2.5.57). На рис. 20 ш/тах соответствует экстремальному значению веществен

ной части (2.5.57), а со^- экстремальному значению мнимой части. Величины At находятся приближенно, экстраполируя витки АФЧХ. При этом к, Лг/(Гнсог). Будем считать, что соседние витки АФЧХ мало влияют на экстремальные точки.

Рассмотрим один член ряда (2.5.57):

к

(2.5.58)

(2.5.59)

-Т22®2 +i®TY + Отделим вещественную и мнимую часть в выражении (2.5.58):

W(i&) = ReW(i&) + imW(m),

где

 

Re^(/o>) =

k(-T2W)

(l-^2©2) +Tl2&2

 

(2.5.60)

(2.5.61)

 

lmW(m) =

(l- 722o)2) + Г2ю:

Если нанести в комплексной плоскости точки вектора W(i&) (рис. 21), то получим АФЧХ. Она начинается со значения ReW(iG>) = к, lmW(i&) = 0. При со lmax вещественная часть характеристики приобретает максимальное значение. Величина со х- резонансная частота, когда мнимая часть АФЧХ приобретает максимальное значение.

Рис. 21

Im

АФЧХ может быть построена экспериментально. Для этого при гармоническом силовом воздействии <2(0 - sin со/ измеряется амплитуда А, перемещения x(t) = y4sin(co/-cp) и сдвиг фаз ф между силовым воздействием и перемещением. Затем откладывается амплитуда А под углом ф к вещественной оси. По экспериментальным АФЧХ находят постоянные времени ТХ,Т2 и коэффициенты усиления к.

АФЧХ могут служить средством для исследования рассеяния энергии и для построения приближенных моделей сложных механических систем.

Исследуем Re^/co) на экстремум. Для этого найдем производную

dRe W(iG))/d® и приравняем ее к нулю при со = со lmax:

dReW{i(d) _ d k(l-TJ&2)

 

 

-2Г22со

 

dco

,2

^ш(і-Г22со2) +Г2со2 (і- Г22со2)2 + Г2со1-(і- Г22со2)[2(і- Г22со2)(-2Г22со) + 2Г!2со

 

(і-Г22со2) + 7fco2

-і2

 

Рассмотрим числитель этого выражения:

і2

(і-Г22со2) Т&-$Т?®-(-Т&2)т?

 

 

со

 

 

= 0:

lmax

(l - Г22со 2) Г22со - ТіТх2&3 - 7fco + ТіTx2g>3

0;

Подпись: lmax
Подпись: (і-Г22ш2):
Подпись: 1 max

 

Т _ j    ю lmax

(2.5.62)

CO