Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 776


2.5.3. уравнение динамики произвольной системы твердых тел, соединенных упругими связями

Рассматривается сложная механическая система, состоящая из произвольного количества твердых тел, соединенных произвольным числом, произвольно расположенных упругих элементов (рис. 19).

Малое перемещение некоторой точки ht і - го твердого тела можно записать в виде:

\% = \% +Фі*fki, (2.5.27) где \% = иш1+ иЫу] + Ufak - вектор малого перемещения точки kjl

Щі = мойД + Щіуі+ uoizk - вектор малого перемещения полюса О,;

Фі - Фі+' + Ф/їУ + Фір* ~ вектор малого угла поворота / - го твердого тела;

= хи1 + Ум) + гшк - вектор, определяющий положение точки kt по отношению к положению к полюсу Oj.

Величина вектора гы при малых перемещениях с точностью до этих малых величин является неизменной.

т т

\%:

т

ф/ =

Формулу (2.5.27) можно записать в матричном виде. Для этого следует ввести матрицы столбцы:

г

икіхикіуикіг Щіх'іЩіуіЩіг '■>

ф*;Ф(у;фй

и матрицу влияния на поле перемещений в твердом теле в зависимости от вектора поворота фг:

О   zu -уи гы = -іш 0     хи . (2.5.28)

У и -*кі о Тогда формулу (2.5.27) можно записать так:

\% = \% + \%Ф|- (2.5.29) Введем векторы перемещений:

о/

ul

(2.5.30)

 

(2.5.31)

и матрицу:

 

(2.5.32)

Матрица (2.5.32) является комбинацией единичных матриц, матрицы (2.5.28) и нулевой матрицы.

Тогда можно записать следующую зависимость между векторами (2.5.30) и (2.5.31):

Uu^LuUm. (2.5.33) Не/трудно проверить, что первые три строки матричного соотношения (2.5.33) соответствуют формуле (2.5.29). Остальные три строки дают тождество Ф; ss фг. Геометрический смысл матрицы Ьш заключается в том, что с ее помощью определяется линейное поле малых перемещений точек твердого тела через три проекции малого перемещения полюса и три проекции малых углов поворота тела вокруг полюса.

Таким образом, с помощью матричного соотношения (2.5.33) можно найти разности перемещения углов поворота концов упругих элементов, иными словами, найти деформации этих упругих элементов. А это, в свою очередь, позволяет найти потенциальную энергию упругого элемента, выраженную через перемещения полюсов и углы поворота твердых тел.

В простейшем случае матрица жесткостей упругого элемента с~ имеет

диагональную структуру:

 

(2.5.34)

Здесь сх, су, с2 - коэффициенты жесткости упругого элемента при линейных

перемещениях; сЦ, сф. ниях.

cj - коэффициенты жесткости при угловых перемеще-

Если два твердых тела соединены невесомой балкой, то матрицу жесткости cfj следует формировать по соответствующим формулам строительной механики.

Потенциальная энергия упругого элемента будет:

nj = \{ьыит - IvU0J)T cfjfaUo, - LkJU0J). (2.5.35)

то для кинетической энергии получим формулу: 42

= |[/иг(4* + йіу + ul^ + J^l + Jyitfy + J2iq>l - (2.5.37)

 

To есть предполагается, что за полюса берутся центры масс.

Если ограничиться внутреннем рассеянием энергии, то функция Релея будет подобна структуре потенциальной энергии системы. Например, для упру-

гого элемента с* получим:

♦J = |(АА~       V'o;)- (2.5.38)

Матрица коэффициентов внутреннего рассеяния Щ подобна по структуре матрице Су. Характерная матричная строка динамических уравнений для /- го элемента будет

Mftu +^JLlib-jLkiU0i -'ZLJabyLkjl)0j +

т         т (2.5.39)

+Z   Су Lh U0i - J Lh ctj   U0j = Fj,

к к

где Ff = FxhFyi,F2hMxi,MyiM2i - вектор нагружения і- го тела. Каждая матричная строка содержит шесть характерных уравнений.