Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 780


2.5.1. дифференциальные уравнения лагранжа второго рода

В данном разделе мы рассмотрим метод Лагранжа, основанный на применении уравнений Лагранжа второго рода.

Рассматривается система, подчиненная голономным связям, когда

n=n(t,qj), i = hN,j=Ut,  (2.5.1)

где    радиус-вектор точек системы; qj- обобщенные координаты.

Скорости точек v, согласно (2.5.1) будут:

fir.     п Вг.

*;=f+l|H>         (2.5.2)

dt J=ldqj

при этом имеют место следующие тождества Лагранжа:

dVj    dff    d Щ dVj

(2.5.3)

dqj    dqj   dtdqj dqj

Уравнения Лагранжа второго рода являются следствием принципа Ла-гранжа-Даламбера. Принцип Лагранжа-Даламбера представляет собой синтез принципа виртуальных перемещений Лагранжа и принципа Даламбера.

Пусть механическая система подчинена двусторонним идеальным связям. Для каждой точки системы, согласно принципу Даламбера, можно записать уравнение:

Fj+Ri-mfi = О, i = hN, где Ц- внешние силы; Rt- реакции связей сил взаимодействия;      масса точек системы; Fj - радиусы-векторы точек.

п дг

 

(2.5.5)

 

Уравнения Лагранжа второго рода есть результат замены переменных в уравнении (2.5.4) на обобщенные координаты:

N         п f N      pip      N ЯрЛ

"(^    d dT дГ jA      dtdqj dqj)

 

 

= 0,

(2.5.6)

N - dr

где —- = Qj- обобщенные силы; /=і   dq j

N

N

і d Щ

i=I lidqj    dttx 11dqj   Й "dtdqj d *   _ dvf    *   _ dV;    d dT dT

= — > w V,                 > ntjVi  =        

dtti ' 'dqj   S    'dqj    dtdqj dqj

обобщенная сила инерции; T = Z      ' = Z-"1"1— кинетическая энергия сис-

/=і   2      /=1 2

темы.

Поскольку вариации обобщенных координат 6qj независимы, то равенство (2.5.6) будет гарантировано лишь при условии, что

(2.5.7)

d дТ дТ

= Qj,J = hn-

dt dqj dqj

Уравнение (2.5.7) и есть уравнение Лагранжа второго рода.

Предположим в дальнейшем, что на механическую систему наложены стационарные голономные связи, когда

П = п(я^ = W j = l,n..

Рассмотрим примеры вычисления обобщенных сил. В случае позиционных сил имеем:

 

XI

аП

■ F =

> 'и

ап

• F =

> 1 Z1

ап

(2.5.8)

где Fxi, Fy, Fzi- проекции силы Ft на оси x,y,z П - потенциальная энергия системы. Согласно общей формуле для обобщенных сил получим:

N   drt N

/=1

/=і

    8qj       Sqj Sqj)

 

(2.5.9)

an

 

Следовательно, потенциальные обобщенные силы выражаются формулой:

ап

dqj

Известно, что в состоянии равновесия Qj = О, поэтому, если система подчинена потенциальным или консервативным силам, то

dqj

= 0.

(2.5.10)

В некоторых случаях силы сопротивления, действующие на материальные точки системы, можно считать пропорциональными скорости:

^ =-^у,, bt >0, /=ЦУ, (2.5.11)

где Ь,- коэффициенты сопротивления, считающиеся постоянными величинами.

Соответствующие обобщенные силы, согласно общей формуле, будут

N дг- N dv-і=і   dqj     і=і &{}

 

(2.5.12)

 

Здесь 2L~J~J~ = Ф - называется функцией рассеяния энергии или функцией Ре-

/=1 2

лея. Следовательно,

в;=~Ф.            (2.5.13)

При стационарных связях, когда

 

"drt.      (2.5.14)

 

то есть  vy- однородная линейная форма обобщенных скоростей. Поэтому

функция Релея оказывается однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:

 

N     g=. Qf.

где^ = ^=][>,    ' '

 

Согласно теореме об изменении механической энергии Е имеем:

»          " дФ

j=i j'&j

 

j=idqj

По теореме Эйлера об однородных функциях

« дФ

£^.=2Ф.

 

Следовательно,

dE

= -2Ф.

dt

То есть скорость убывания полной энергии системы представляет собой удвоенную функцию Релея.

При колебаниях относительно положения равновесия выражение для потенциальной энергии системы обладает некоторыми особенностями.

 

Пусть механическая система состоит из материальных точек, твердых тел, соединенных невесомыми пружинами. В положении равновесия все обобщенные силы равны нулю, поэтому выполняется условие (2.5.10):

дП

= о.

 

Потенциальная энергия вычисляется с точностью до постоянной, поэтому всегда можно считать

П

(2.5.16)

1          ^ ^

Представив потенциальную энергию систем в виде ряда Тейлора по малым отклонениям от положения равновесия:

qjqs+... (2.5.17)

" ап

П(?,) = г^.=0 + £

 

Если учесть формулы (2.5.10) и (2.5.16), то окажется, что ряд (2.5.17) начинается с членов второго порядка малости. Поэтому приближенное выражение потенциальной энергии таково:

|  п и

1 >=i*=i

(2.5.18)

где

 

cjs ~ csj

д2П

(2.5.19)

 

так называемые обобщенные жесткости системы.

Выражение (2.5.19) - однородная квадратичная форма обобщенных координат.

Выразим кинетическую энергию системы через обобщенные скорости согласно формуле (2.5.14):

N mv2    N т " Br.      "Br-        і « «

T-        = Zflg-^lf-*, -{YLmjAtt,. (2.5.20)

 

где т., = ти = У/я, —  — инерционные характеристики системы.

/=1 dqjdq,

Так как рассматриваются малые колебания, радиусы-векторы точек системы непрерывны, однозначны и, по крайней мере, дважды дифференцируемые

37

функции обобщенных координат, то можно считать, что частные производные

 

постоянными. Следовательно, инерционные характеристики тп тоже при

dqj J

данной постановке задачи можно считать постоянными.

Применяя уравнение Лагранжа (2.5.7), согласно (2.5.10), (2.5.9) и (2.5.15), получим следующее матричное уравнение малых колебаний системы:

где т -

т

mii+bu+cu = F, (2.5.21)

, j,l=l,n- матрица масс; Ь= Ъц     = 1,п- матрица рассеяния

энергии; с = Cji ,j,l= ,п- матрица жесткостей; и - qj , j ~,п- вектор перемещений; F= Qj , j= ,n- вектор обобщенных сил.

Здесь следует отметить, что рассеяние энергии делится на внешнее и внутреннее. Часть функции Релея, описывающая внешнее рассеяние энергии, подобна по структуре кинетической энергии, а часть функции Релея, описывающая внутреннее рассеяние энергии, подобна по структуре потенциальной энергии системы.