Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 758


2.4. преобразование лапласа. связь преобразования фурье с преобразованием лапласа

Рассмотрим интеграл:

і   а+/'оо pt

Imp

 

A

/ / +л

1

і —

Ь    -я 0

і

a '

\

1

і

 

Рис. 12

2пі

(2.4.1)

а-іоо

взятый вдоль прямой Rep = а > О, при движении снизу вверх (рис. 12). Обозначим через CR и CR части окружности |/?| = /2, лежащие соответственно слева и справа от прямой Reр = а, а через a-ib и а + #

- концы Сл и С)?.

Пусть  / > О при

 

R -> оо, lim — = 0 при всех arg р.

Я-»со р

{єр<

Поэтому lim j —- dp = О. Тогда по с. Р

теореме Коши о вычетах:

pt

f —dt + f —dp = Imres

a-ib P CRP

Откуда в пределе при R-+ao получим:

,р*

 

 

/=о

= 2я/.

(2.4.2)

і а+/оо

2я/

а-/оо ^

Выражение (2.4.2) может быть доказано непосредственным интегрированием по контуру, обозначенным пунктиром. При этом ход рассуждения повторяет доказательство теоремы Коши для данного частного случая.

Рассмотрим интеграл по контуру, обозначенному пунктиром:

a+ib ^рі

ept . eept

f —dt+ f—dp+—dp=0.

a-ib P        CRP           у P

Интеграл по разрезу (+n-n) пропадает, так как получается сумма двух равных по величине и разных знаков слагаемых.

а+І™ЄрІ         ГЄР* rl+ZM-

j —Ф = -|—dp = - j—Ј-^dp =

a—too P          у P       у P

Y " Y

 

p : 2 t

где /? = rei(?.

Интегралы, содержащие е1Щ, пропадают в силу того, что подынтегральная функция оказывается периодической. Например,

l"J Ге'фА?ф = ij /-(сОБф + І Sinф)б/ф = 0.

 

Если / < 0, то получим:

 

lim—dp л- I—ф=0.

 

Интеграл в пределе при R -> оо

1   a+ix pt

2тс/

а-гсс

Таким образом,интеграл (2.4.1) представляет собой единичную функцию:

/м  1 т^'л Я'/>0;

/(/) = ^1тФ=1о,,<о.

Графически это можно представить так:

 

 

(2.4.3)

ад

/ / / //

/////// /

 

ZZZ

///

Рис. 13

Рис. 14

 

Заменим t на t - х, где т - фиксированная точка. Тогда получим функцию:

(2.4.4)

(2.4.5)

 

Графически это выглядит следующим образом (рис. 14): Рассмотрим разность:

 

Ф(0 = /(<)-/(<-*) = ^7   f        1   п V

График такой функции (рис. 15) представляет собой прямоугольный импульс: Ф(х)

Подставим в (2.4.4) т = tj, а затем х = х2>х1,и вычитая из первого второй интегралы, получим представление ступенчатой функции:

г0, /<ть

 

2™ «:*» />

1, т<*<т2, О, <>т2.

(2.4.6)

Графически это изображено на рис. 16.

Заменяя график функции /(/) на ступеньки, получим приближенное

представление /(/) (рис. 17). Воспользовавшись формулой (2.4.6), представим ступенчатую функцию, показанную на рис. 17, в виде суммы ступенчатых функций:

Ы)

а-/оо

KE/(t^  Ф = ^ К1/(х^Х,ф, (2.4.7)

а-/оо

Ахк являются эквивалентными, т.е.   lim —- = 1. Поэтому вместо (2.4.7) в

Атк->о Ахк

пределе можно написать:

1

а+їоо

f{x)e'^dx

 

dp,

 

Подпись: а-№
Подпись: при х„ -> оо получим:

 

 

а-гоо

/{х)е-р*сН

І о

ф,

где интеграл

/(p) = j/(T)e-*A

о

называется прямым преобразованием Лапласа, а интеграл

(2.4.8)

 

(2.4.9)

обращает формулу (2.4.8). Поэтому (2.4.9) называется обратным преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа. Прежде всего приведем ряд простых примеров преобразования Лапласа, которые следуют из (2.4.1):

1-І; е" = '

Р Р-Ро 1. Линейность. Для любых аир:

 

а/М + М0=аД/>) + М/>)-

Тогда

Подпись: е^-е-»'   і f    і	і ш
Подпись: с     — е	і ^     1	1 ^
SIN СО/=
Подпись: 2 2
Подпись: р-1® р+т;2/ 2/ Аналогично

Подпись: /7	,	Ю	, Р
COS00/ = ———-; sn®t = —z	-; c«eof-

 

/г+со    р   -(й  р -О

2. Теорема подобия:

1 flA

д«)-1/(£

ос Vccv

Дифференцирование интеграла:

 

/'(<)=Pf(p)-f(0),

 

или /(и)М=ри/(р)-^-1/(0)-...-/(и-1)(0), где /<*>(0) = Шп/<*>(/). Действительно,

00 00

/•(»)=- [/(<)<г" Г + pf{ty>-"* ■

о о

Откуда

 

f'(t)=pf(p) -/(0).

Дифференцирование изображения:

/("V)=(-i)"<"/«-

00

/(/?) является аналитической функцией, поэтому f'(p) = -jtf(t)e~ptdt и т.д.

о

 

Тогда, поскольку 1=—, получим:

Р

1     2     ^ и

,и+1

(Р-Ро)

и+1

 

Подпись: g(P)=j/(()*=^.

 

со

1/(Р)Ф=1

 

7. Теорема смещения:

со        оо оо   оо f (Л

f{t)e-ptdt dp= f(t)e-ptdp dt = \^e-ptdt.

 

ep°'f(t)=f(p-p0); e'u sm©f=

ТІ

 

2 '

Є COSOf

 

: e'utn =

(p + ?l)2+(o2' ■(р+А.)я+г

Докажем, что действительно преобразование Лапласа от импульсной переходной функции есть передаточная функция: 00    -і       ОС         -і 00

e(t)e-ptdt = — f e~nt sm©,fe-^A = — [e<n+ddt =

1          ю,        1 1

w©i (n + p)2 +©J   mp2 + 2npm+{n2 +®\}m mp2+bp+c'

b с так как 2nm-—m -b, nz +®2 = n2 +(o2 -nz = о 2, ®2m = ~m = c. m m