Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 768


2.2. интеграл фурье. прямое и обратное преобразование фурье

Комплексное решение задачи о вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы может быть обобщено на периодические нагрузки. Для этого преобразуем выражение комплексного ряда Фурье так, чтобы оно было пригодно для бесконечного интервала времени.

( т ґ

Пусть нагрузка Q(t) действует в интервале времени I —; — I, где Т- ее 2л

период, Т = —. Перепишем формулы (2.1.2) и (2.1.3) в виде: ю

00

6М- HQje*", (2-2.1)

j=-x, і 772

Qj=± і ФУ***'*- (2-2.2)

і -Г/2

Прейдем от периодической функции {?(/) к апериодической. Для этого положим Г-»оо. Тогда в формуле ю = 2тс/71 величина ю становится бесконечно малой и ее следует заменить на d®, то есть

1 _ d&

Т~ 2я'

при этом дискретные частоты ую превращаются в непрерывную функцию ю.

Для периодической функции Q{t) согласно (2.2.1) и (2.2.2) можно записать следующее тождество:

I - Т/2

00 1

eij&t. (2.2.3)

j=-*T-T/2

При переходе к пределу, когда Т -> оо, вместо интеграла

Г/2 -Г/2

получаем:

 

£(/©) = |£(/)е~/ю'<//. (2.2.4)

—00

Формула (2.2.4) представляет собой прямое преобразование Фурье функции Q{t). Вместо формулы (2.2.1) получаем:

Q(t) = ~]o(m)e~ie>td(». (2.2.5)

-00

Формула (2.2.5) называется интегралом Фурье и представляет собой обратное преобразование Фурье.

И, наконец, при Т -> оо вместо (2.1.7) имеем:

1 00

x(t) = — f W{(o)Q(iG))emtd® 2ж „

 

 

(2.2.6)

где x(i(o) = W(i(d)Q(i(d)- преобразование Фурье от реакции системы на произвольную силу Q{t).

Вычисление интегралов (2.2.4), (2.2.5) и (2.2.6) представляет собой трудоемкий процесс. Для практического применения необходимо сформулировать принципы численного интегрирования.