Название: Случайные колебания виброзащитных систем - Методическое пособие (Санкин Юрий Николаевич, Пирожков Станислав Леонидович)

Жанр: Строительный

Просмотров: 768


2.1. комплексное решение задачи о вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы при периодическом возмущающем воздействии

Пусть произвольная периодическая нагрузка представлена в виде ряда Фурье:

Ф) =    + Z(tf / cos>'+ bj smjaa).          (2.1.1)

2 м

Воспользуемся формулами Эйлера:

„іх      -ix          „їх . -ix

Є   - Є Є +Є

smx =   ;—; cos* =

Ті 2

и заменим с их помощью в ряде (2.1.1) тригонометрические функции на показательные от мнимого аргумента. Тогда вместо (2.1.1) получим следующее выражение:

00

Ф)= lQjeiJa', (2.1.2)

 

где

m 2п/ф

Qj=T~       QM^dt. (2.1.3)

2тс J0

В выражении (2.1.2) каждому положительному значению j, например j = +п, соответствует j = -п, при этом соответствующие члены являются комплексными сопряженными, поэтому их сумма оказывается вещественным числом, что соответствует тому факту, что возмущающая сила Q(t) вещественна.

Ограничимся рассмотрением установившегося режима чисто вынужденных колебаний, когда переходный процесс, обусловленный начальными условиями, закончился.

Рассмотрим комплексную единичную нагрузку:

Ф) = еш. (2.1.4)

Согласно уравнению:

mx + bx+cx = еш, полагая х = W(m)emt, получаем:

(-т®2 + i(ob + c)w(i(o) = 1.     (2.1.5)

Из (2.1.5) следует, что

W(i<o) =          ^          .           (2.1.6)

-то) + io)b + с

Выражение W(i(o) называется передаточной функцией.

Из формулы (2.1.6) видно, что W(m) является комплексно сопряженной с

W(-i&). Поэтому в соответствии с принципом суперпозиции установившаяся

реакция системы с одной степенью свободы на периодическое воздействие в комплексной форме записывается в виде:

00

*= ZHu^Qje^1. (2.1.7)

j=-oo

Решение в виде (2.1.7) совпадает с решением (1.2.6), однако выгодно отличается от него простотой записи.