Название: Аксонометрия и тени в аксонометрии - методические указания (В. И. Чурбанов, А. Ю. Лапшов, Л. Л. Сидоровская)

Жанр: Строительный

Просмотров: 1403


3.3. аксонометрия плоских фигур

 

С вопросом построения аксонометрии плоских фигур приходится неиз- бежно сталкиваться при построении аксонометрических проекций объемных тел, так как построение плоской фигуры обычно служит основой построения трехмерного тела.

 

Аксонометрическое изображение многоугольников

 

Задачи на построение аксонометрических проекций многоугольников  яв- ляются наиболее простыми среди задач, поскольку любой многоугольник как геометрическая фигура состоит лишь из отрезков прямых (стороны много- угольника) и точек (вершин).

 

Задача  1.  Построить  изометрическую  проекцию  равнобокой  трапеции

 

 

АВСD, расположенной в плоскости П1 (рис. 3.7).

 

Рис. 3.7. Последовательность построения изометрической проекции равнобокой трапеции

 

 

Изобразим аксонометрические оси и выполним построения по приведен- ным коэффициентам искажения (K = M = N = 1). Ось Z в построении не участ- вует, поскольку изображаемая фигура лежит в плоскости П1. Построим изомет- рию вершин трапеции (строя их по схеме рис. 3.6). Соединив последовательно точки А, В, С, D, получим изометрию трапеции.

 

Задача 2. Построить диметрию правильного шестиугольника, заданного его ортогональными проекциями (рис. 3.8).

Т. к. фигура правильного шестиугольника симметрична, то аксонометри-

ческие оси удобно совместить с осями симметрии. Изобразим аксонометриче-

ские оси и выполним построения по приведенным коэффициентам искажения (K = N = 1; M = 0,5).  На рис. 3.8 показана последовательность построения пра- вильного шестиугольника для двух случаев: когда он расположен в плоскости проекций П1   (рис.  3.8  а)  и  когда он  расположен в  плоскости проекций П2 (рис. 3.8 б).

Вершины А и В шестиугольника лежат на оси Х, поэтому для их нахожде- ния отложим расстояния Y2A2 и Y2B2, соответственно, на оси Х в обе стороны. Стороны CD и EF параллельны оси Х и отстоят от неё на расстоянии 1-2 /2. Для нахождения точек 1 и 2 от начала координат в обе стороны отложим: на рис. 3.8 а вдоль оси Z отрезок 1222/2, на рис. 3.8 б вдоль оси Y отрезок Z111/2.

 

 

Рис. 3.8. Построение диметрии правильного шестиугольника

 

 

Через точки 1 и 2 проведем прямые, параллельные оси OХ, и отложим на них от точек 1 и 2 отрезки, равные половине либо стороны CD, либо стороны EF. Получим изображение точек C, D, E, F. Соединив последовательно точки, получим диметрию заданного шестиугольника.

 

Задача 3. Построить изометрию треугольника АВС, заданного его ортого- нальными проекциями. Плоскость треугольника занимает общее положение (рис. 3.9).

Для построения изометрии треугольника необходимо построить последо-

вательно изометрию точек А, В, С. Соединив их между собой, получим изомет-

рию заданного треугольника – АBC.

 

Рис. 3.9. Построение изометрии треугольника

 

Аксонометрические проекции окружностей, расположенных в плоскостях П1, П2, П3 или параллельных им

 

Изометрия (прямоугольная)

 

На рис. 3.11 изображены изометрические проекции окружностей диаметра d, расположенных в плоскостях уровня. Построение проекций этих окружно- стей сводится к построению эллипсов по 8 точкам. Для этого окружность впи- сывают в квадрат и строят его изометрию. Диагонали полученного в изометрии параллелограмма определят направление большой и малой осей эллипса. Важ- но заметить, что большая ось эллипса расположена всегда перпендикулярно

«отсутствующей в  плоскости  окружности  оси».  Например,  при  построении изометрии окружности, расположенной в горизонтальной плоскости уровня,

большая ось эллипса будет располагаться перпендикулярно отсутствующей в горизонтальной плоскости уровня оси OZ, во фронтальной плоскости уровня –

перпендикулярно оси OY, в профильной плоскости уровня – перпендикулярно

 

 

 

 

оси OX. Малая ось эллипса всегда перпендикулярна большой его оси. Эллипсы строят по восьми точкам, для этого вдоль большой и малой оси эллипсов от- кладываются расстояния, равные 1,22d и 0,71d соответственно (рис. 3.10).

 

Рис. 3.10. Графический способ нахождения длины большой и малой осей эллипса

 

Таким образом получают 4 точки, необходимые для построения эллипса.

Оставшиеся 4 точки получают, откладывая расстояния, равные d окружности,

 

 

на прямых, проведенных через центр эллипса в направлении «присутствующих осей» (сопряженные диаметры).

 

Рис. 3.11. Аксонометрическое изображение окружностей

 

Если данная окружность лежит в плоскости XOY, то сопряженные диамет- ры располагаются параллельно OX и OY, а если в плоскости YOZ, то парал- лельно OY и OZ, а если в плоскости XOZ, то параллельно OX и OZ.

 

Прямоугольная диметрия

 

Проекции окружностей диаметра d, расположенных в плоскостях уровня, построены по действительным (рис. 3.12 а) и приведенным коэффициентам ис- кажения (рис. 3.12 б). Направление осей эллипсов – проекций этих окружно-

 

 

 

 

стей – подчинено тому же закону, что и в прямоугольной изометрии. Размеры осей эллипсов, по приведенным коэффициентам искажения, одинаковы для случаев расположения окружности в горизонтальных и профильных плоскостях уровня и равны а = 1,06d; b = 0,35d. В случае расположения окружности во фронтальных  плоскостях  уровня  размеры  осей  эллипсов  равны  а  =  1,06d; b = 0,94d.

 

Рис. 3.12. Прямоугольная диметрия окружности

 

Обычно для упрощения построения аксонометрических проекций окруж- ности эллипсы заменяют очень близкими по начертанию овалами. Ниже приво- дятся некоторые способы построения овалов в прямоугольной изометрии и ди- метрии.

 

Рис. 3.13. Построение овала в прямоугольной изометрии

 

Последовательность построения овала в  прямоугольной изометрии рас-

смотрим на примере построения его, лежащего в плоскости П1 (рис. 3.13):

- проводим оси для изометрии и направление большой оси эллипса, пер-

пендикулярное оси Z;

 

 

- из точки пересечения изометрических осей описываем окружность ра- диусом, равным радиусу заданной окружности. Она пересекает изометрические оси в точках 1, 2, 3, 4, 5 и 6;

- из точек 5 и 6 радиусом R1= 63 = 51 проводим дуги, которые пересекают ось Z в точках 7 и 8;

-  из  точки  О  проводим  окружность  радиусом  О7,  которая  пересекает

большую ось эллипса в точках 9 и 10. Эти точки будут центрами дуг сопряже- ния, замыкающими овал. Точки сопряжения К и К1  находим на пересечении прямых, проходящих через точки 5 и 6 и центры дуг сопряжения 9 и 10 с дуга- ми радиуса R1;

- из центров 9 и 10 радиусом R2 = 9К = 10К проводим замыкающие дуги между точками сопряжения К и К1.

Последовательность построения овалов в прямоугольной диметрии рас-

смотрим на примере построения их, лежащих в плоскостях П1 и П2 (рис. 3.14).

 

 

Рис. 3.14. Построение овала в прямоугольной диметрии

 

На рис. 3.14 а  показано построение овала, заменяющего эллипс, который является проекцией окружности, расположенной в плоскости П2 (XOZ).

Через точку О1   (центр овала) проведены прямые, параллельные осям пря- моугольной диметрии и большая ось овала, перпендикулярная оси Y. Из центра О1 проводим окружность, диаметр которой равен диаметру заданной окружно- сти. При пересечении её с прямыми, параллельными осям X и Z, отмечаем точ- ки 1, 2, 3 и 4. Из точек 1 и 3 проведены горизонтальные линии до пересечения с направлением большой оси овала (точки О2  и О3) и направлением малой оси

 

 

овала (точки О1  и О4). Точки О1  и О4  приняты за центры дуг 12 и 34 радиуса

R=О41=О14, а точки О2 и О3 – за центры дуг 23 и 14 радиуса R2=О22=О31.

Построение овала, заменяющего эллипс, который является проекцией ок-

ружности, расположенной в плоскости П1 (XOY), показано на рис. 3.14 в.

Через точку О (центр овала) проведены прямая, параллельная оси X, в на-

правлении большой оси овала перпендикулярно оси Z. Из центра О проводим окружность, диаметр которой равен диаметру заданной окружности. При пере-

сечении её с прямой, параллельной оси X, отмечаем точки n и n1. На оси Z вверх и вниз из центра О отложены равные диаметру окружности отрезки, най- дены точки О1 и О2. Из точек О1 и О2 радиусами R= О1n = О2n1 проводим дуги nn4   и  n1n3   до пересечения с окружностью диаметра d. Соединяя прямыми точ- ки О1  и О2  с точками n и n1  на пересечении с большой осью овала, получим точки О3 и О4, которые являются центрами замыкающих дуг эллипса.