Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.)

Жанр: Радиотехнический

Просмотров: 1321


8.1. математическая постановка задачи

 

Как отмечалось в лекции 5 (п. 5.2), плотность океанской воды с глубиной слегка возрастает. Это объясняется тем, что в более холодной воде может рас- твориться больше солей, в частности гидрокарбонатов. Поэтому в океане, как и в атмосфере, имеет место вертикальная стратификация по плотности. Правда, в уравнении движения частиц жидкости можно не учитывать силы Кориолиса, так как из-за гораздо большей плотности чем воздух, вода отклоняется ими значительно слабее. Вспомните: пассатные течения существуют лишь в тропи- ках, и они никогда не создают крупномасштабных вихрей, как атмосферные циклоны и антициклоны.

С учетом сказанного, система уравнений, описывающих движения воз- мущений в стратифицированном океане без диссипации энергии может быть записана в виде (см. п. 4.1, уравнения (4.1) – (4.3)):

 

 

 

   

v

  t

 

 (v )v 

 

 p  g,

 

(8.1)

 

 

v

 
  (  )  0,

t

 

(8.2)

 

 

  

p  p0            .

 

 

(8.3)

  0 

 

Считая воду в горизонтальной плоскости изотропной, можно ограничиться рас- смотрением плоской задачи (в плоскости x0z, см. рис. 8.1).

В зависимости от степени стратификации, определяющей величину час-

тоты Брента – Вяйсяля, и частоты возмущений внутренние волны в стратифи- цированной жидкости могут распространяться под различными углами к гори- зонту.

z

 

k

g

 

0          x

Рис. 8.1. Исследуемая модель возникновения внутренних гравитационных волн в океане

 

Линеаризуя систему (8.1) – (8.3) и применяя использованную в лекции 4 процедуру решения, можно получить дисперсионное уравнение

 

N 2    2

 2      N 2

 c 2 Г 2

2          2                    

            s           ;

c

 
k z   

 2

k x       2          2

c

 
s           s

(8.4)

 

 

 

cs  

  p0 ,

 0

N 2   g  g    ,

2

 
2

   1  ,

Г   g

2

  ,

cs          z

c s        2

 

где сs – скорость звука в среде, N – частота Брента-Вяйсяля, α – параметр стра- тификации, Г – коэффициент Эккарта. На рис. 8.2 показаны определяемые уравнением (8.4) дисперсионные характеристики.

 

         1

 

m

 

N e

 

2

 

k

 

Рис.8.2. Дисперсионные характеристики внутренних волн в океане:

1 – акустические волны, 2 – внутренние гравитационные волны

Рассмотрим возникающие здесь частные случаи.

 

 

 

вид

1. Акустические волны (ветвь 1). При  ω >> N уравнение (8.4) принимает

 

 

 

   m

k 2 c 2

w

 
1          s   ;

2

2

 
m

 

(8.5)

 

 

2

 
k       k x

 

2

 
 k z  ,

 m   N

 

2

 
 c s Г

2 1 / 2 .

 

 

В отсутствие стратификации (α = 0) ωm = 0 и из (8.5) следует ω = kcs .

 

2. Внутренние гравитационные волны (ветвь 2). При дится к виду

  N

(8.4) приво-

 

 

 

         N 2   

 

 Г 

1 / 2

2

 

  N cos 1 

               ;

(8.6)

s

 
      c 2 k 2

 k   

 

 

cos   k x  / k.

 

Выражение (8.6) представляет собой дисперсионное уравнение для внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости, в общем случае с уче- том сжимаемости.