Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.)

Жанр: Радиотехнический

Просмотров: 1314


7.5. уравнение кортевега – де вриза. солитоны

 

Решения уравнений Буссинеска в виде волн, распространяющихся только в одну сторону (например, вправо), можно представить в виде

 

u  A

( )  A ( )  B

( )  O( 2

  2 ),

0

t    x

 

 C1

1

( )  C 2

1

( )  O( 2

 

  2 ),

(7.28)

 

где

Ak (),

B1 (),

Ck ()

– некоторые функции η и ее производных. Подстав-

ляя (7.28) в (7.27), получаем

 

 

   [ A ]

 

 [(A )

 

 ( A )

 

]   [(B )

 1 ( A ) ] 

t           0   x

0   x     1   x

1   x     6

0   xxx

 O( 2

  2 )  0,

 

(7.29)

 

[ A ]   

 

 [( A )

 

 A ( A )

 

]   [(B )

 1 ( A ) ] 

0   t      x

1   t      0          0   x

1   t      2

0   xxt

 O( 2

  2 )  0.

 

Рассматривая  члены  нулевого  порядка  по  α  и  β  в  (7.29),  видим,  что

A0 ()   и

 

t    x

 

 [( A1 ) x

 

 2 x

 

]   [(B1 ) x

 

 

 1 

6

 

xxx

 

]  0,

 

(7.30)

 

t    x

 

 [( A1 ) t

 

  x

 

]   [(B1 ) t

 1 

2

 

 

xxt

 

]  0.

 

 

* Ж. В. Буссинеск (1842–1929) – французский ученый, специалист в области гидроди- намики, оптики, термодинамики и теории упругости.

Как  следует  из  (7.28),

t    x

 O(   ).

Следовательно,  уравнения

1

 
(7.30) совместимы, если принимает вид

A   1 / 4 2 ,

B1   1 / 3 xx

и каждое из уравнений (7.30)

 

t   (1  3 / 2) x

 1 / 6 xxx   0,

(7.31)

 

а  C1 ()  3 / 2 x ,

C2 ()  1 / 6 xxx .

 

Уравнение (7.31) называется уравнением Кортевега – де Вриза*  (КдВ). В размерных переменных оно имеет вид

 

          

 

   c

1  3     

 1 c

 

h 2

 

 0.

 

(7.32)

t           0 

2 h    x

6  0   0

xxx

         0 

 

В зависимости от амплитуды возмущения (уровня нелинейности) уравнение КдВ допускает различные решения: квазигармоническое, кноидальное и соли- тонное (рис. 7.2).

 

Солитоны (от англ. solitary waves – уединенные волны) возникают при достаточно больших амплитудах возмущения и описываются уравнением вида

 

 

  

 

sech 2

x  Vt ,

 

(7.33)

0          L

 

3

 
1 / 2

         

 

           

L   =4 h0  

,           V  c

1   =1   0 ,

c                   gh  ,

 3  0 

0       2 h    0          0

                           0 

 

где  L  и  V  –  соответственно  ширина  и  скорость  распространения  солитона. Амплитуда солитона

 

h 3

0

 
          c    0

3l 2

 

определяется глубиной жидкости и начальными условиями: длиной возмуще- ния, его высотой и случайными факторами, заложенными в произвольную по- стоянную c.

 

* В честь голландских ученых И. Д. Кортевега и Г. де Вриза.

 

а

 

t

 

 

б

 

t

 

 

в

 

t

 

Рис. 7.2. Различные типы решения уравнения КдВ (по мере нарастания нелинейности):

а – квазигармоническое, б – кноидальное, в – солитонное

 

Солитоны играют огромную роль в природе. Ими являются цунами, нервные импульсы, долгоживущие вихревые кольца (например, Большое Крас- ное Пятно Юпитера). С солитонами приходится иметь дело и в технике: напри- мер, в полупроводниковых устройствах и волоконно-оптических линиях.