Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.) Жанр: Радиотехнический Просмотров: 1331 |
7.3. волны на мелкой воде
Рассмотрим теперь нелинейную задачу для волн на мелкой воде. Введем
/ l2 – параметр дисперсии, где a – характерная амплитуда возмущения а l – ее харак- терные длина, и перейдем в задаче (7.11) к безразмерным переменным
x x / l , z z / l , t c0 t / l , ( h0 ) / a , Ф c0Ф /(gla) , (7.19)
опустив для простоты штрихи:
Фxx Фzz 0 , 0 z 1 , (7.20 а)
0 , (7.20 б)
t Фx x 1
Ф 1 Ф 2 1 Ф 2 0
2 z
Представив решение уравнение Лапласа (7.20 а) в виде разложения в сте- пенной ряд
Ф f m ( x, t ) z m0
(7.21)
и подставляя его в (7.20 а), (7.20 б) с последующим сравнением коэффициентов при различных степенях z, можно переписать (7.21) в виде
Ф (1) m m z 2m 2m
m 0 (2m)! x 2m
где f (x, t) f 0 (x, t). Подставляя (7.22) в условия (7.20 в), получаем систему нелинейных урав- нений для и f :
[(1 ) f 1 4
3
6 x 4 2 x x 3
(7.23)
1 f 2 1 3
f f f f 2
x 2 t x x 3 xx
Предполагая, что << 1 (слабая дисперсия) и пренебрегая в (7.23) члена- ми, содержащими , получим
t [(1 ) f x ] x 0,
(7.24)
f
t 2 x
Из (7.22) следует, что в рассматриваемом приближении = f (x,y), а fx = x = u, где u – безразмерная горизонтальная компонента скорости частиц жидкости. Вертикальная компонента скорости в этом приближении равна нулю. Дифференцируя второе уравнение в (7.24) по и возвращаясь к размер- ным переменным, получаем
t [(h0 ut uu x )]x g x 0, 0.
(7.25)
Уравнения (7.24) и (7.25) называются уравнениями мелкой воды. В линейном режиме ( << 1) (7.24) принимают вид
t u x 0, ut x 0 ,
или в размерных переменных,
tt c 2 , utt c 2 u .
скоростью c0 gh0 . |
|