Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.)

Жанр: Радиотехнический

Просмотров: 1309


7.3. волны на мелкой воде

 

Рассмотрим теперь нелинейную задачу для волн на мелкой воде. Введем

o

 
два безразмерных параметра: α = a/h0  – параметр нелинейности и β = h 2

/ l2  –

параметр дисперсии, где a – характерная амплитуда возмущения а l – ее харак- терные длина, и перейдем в задаче (7.11) к безразмерным переменным

 

x  x / l ,

z  z / l ,

t   c0 t / l ,

   (  h0 ) / a ,

Ф  c0Ф /(gla) ,       (7.19)

 

опустив для простоты штрихи:

 

Фxx   Фzz

 0 ,

0  z  1   ,           (7.20 а)

 

 

 

Ф

 
z  z 0

 0 ,    (7.20 б)

 

 

 

t   Фx x

1

  Фz   0

z  1   .   (7.20 в)

Ф     1 Ф 2

 1  Ф 2

 0

t           2          x

2       z           

 

 

Представив решение уравнение Лапласа (7.20 а) в виде разложения в сте- пенной ряд

 

m

 

Ф   f m ( x, t ) z

m0

 

(7.21)

 

 

и подставляя его в (7.20 а), (7.20 б) с последующим сравнением коэффициентов при различных степенях z, можно переписать (7.21) в виде

 

Ф   (1) m  m

z 2m

 2m

 

f ( x, t ) ,           (7.22)

 

m 0

(2m)! x 2m

 

 

где

f (x, t) 

f 0 (x, t).

Подставляя (7.22) в условия (7.20 в), получаем систему нелинейных урав- нений для  и  f :

           

 

[(1  ) f

1        4

]        (1  ) 3

 

f   1  (1  ) 2 

 3      

f   

t           x

6       x 4    2

x   x 3            

x

 
 O( 2 )  0,

 

 

(7.23)

 

 

 

3

 
  f

 1 f 2

1                    3

            (1  ) 2 

 

f  f

         f  f 2  

t           2          x          2

 x 2 t

x  x 3 xx 

ý

 
 O(  2 )  0.

 

Предполагая, что  << 1 (слабая дисперсия) и пренебрегая в (7.23) члена- ми, содержащими , получим

 

t   [(1  ) f x ] x

 0,

 

 

(7.24)

 

  f

 

 1 f 2   0.

t           2          x

 

Из (7.22) следует, что в рассматриваемом приближении  = f (x,y),  а  fx = x = u, где u – безразмерная горизонтальная компонента скорости частиц жидкости. Вертикальная компонента скорости в этом приближении равна нулю.

Дифференцируя второе уравнение в (7.24) по  и возвращаясь к размер- ным переменным, получаем

 

t   [(h0

ut   uu x

 )]x

 g x

 0,

 0.

 

(7.25)

 

 

Уравнения (7.24) и (7.25) называются уравнениями мелкой воды. В линейном режиме ( << 1)  (7.24) принимают вид

 

t   u x

 0,

ut    x

 0 ,

 

 

или в размерных переменных,

 

tt

 c 2            ,

utt

 c 2 u    .

 

 

0      xx

 

0     xx

 
Таким образом, на мелкой воде линейные волны распространяются со

скоростью c0  

gh0  .