Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.)

Жанр: Радиотехнический

Просмотров: 1309


7.2. линейное приближение

 

В случае малых возмущений на поверхности жидкости величины Φ и 

малы, что позволяет переписать граничные условия (7.10 в), (7.10 г) в виде

 

 

t   Фz

 

 

z  ( x, y,t )

 

 0 ,

 

Фt   g( x, y, t)

 

 

z  ( x, y,t )

  1

 

p0 ( x, y, t ) .

Исключая из записанных выражений , для покоящейся свободной поверхно- сти (z = 0) получаем

 

 

Фtt

 

 gФ z

 

 

z 0

  p0t  .

 

 

Уравнение Лапласа (7.10 а) и граничное условие (7.10 б) на дне уже ли- нейны и не зависят от , поэтому линеаризованная задача содержит только од- ну функцию Φ:

 

Ф  0 ,

(x, y, z)  D1 , (7.11 а)

 

 

 

Фtt

 

 gФ z

 

 

z 0

  p0t

 

,           (7.11 б)

 

 

Ф

n  z  h( x, y )

 

 0 .    (7.11 в)

 

 

Здесь область D1  ограничена свободной поверхностью z = 0 и твердым дном

z = - h (x,y).

Решив задачу (7.4) и найдя Φ, можно записать уравнение свободной по- верхности для ее малых возмущений:

 

( x, y, t )   1 Ф

( x, y, t )   1

 

p  ( x, y, t) .      (7.12)

g          t           g       0

 

Ограничимся случаем жидкости  постоянной  глубины  h(x,y) = h0 = const и будем искать решение однородной задачи (7.11) в виде плоских волн:

 

  A exp[i(t  k1 x  k 2 y)] , (7.13 а)

Ф   (z) exp[i(t  k1 x  k 2 y)].        (7.13 б) Подстановка (7.13 б) в уравнение Лапласа (7.11 а) приводит к уравнению

 

  ( z)  k 2 ( z)  0 ,

k 2   k 2

 k 2 ,

 

1

 

2

 
решение которого, удовлетворяющее граничному условию вид

 (h0 )  0 , имеет

 

 (z)  Bch[k (z  h0 )] .

Согласно (7.12), для амплитуды функции  при p0 = 0 получаем

 

 

 

Тогда

A   i

g

 (0)   i

g

 

Bch(kh0 ) .

 ( z)  ig

A ch[k ( z  h0 )] ,

ch(kh0 )

 

 

а искомый потенциал скорости

 

Ф  ig

A ch[k ( z  h0 )]

ch(kh0 )

 

exp[i(t  k1 x  k 2 y)] .            (7.14)

 

 

Подстановка (7.14) в однородное граничное условие (7.11б) приводит к диспер- сионному уравнению для поверхностных гравитационных волн в жидкости по- стоянной глубины:

 2   gkth(kh0 ) .      (7.15)

 

Рассмотрим два наиболее интересных предельных случая: длина волны велика по сравнению с глубиной, т.е. kh0<< 1 (мелкая вода) и обратный пре- дельный случай – kh0 >> 1 (глубокая вода). Из (7.15) для первого случая получа- ем

 

         (kh  ) 2 

  k

gh0

1       0           ... ,

kh0

 1.  (7.16)

 

 

Для второго случая

         6          

 

 

      gk ,

kh0   1.      (7.17)

 

 

В пределе, когда kh0  0, фазовая скорость линейных волн на мелкой во- де стремится к постоянному значению

 

c0  

gh0  ,

 

а дисперсионное уравнение (7.16) представимо в виде

 

3

 
  c0 k  k  ,

  1 / 6c h 2 ,            (7.18)

 

0   0

 
где β – параметр дисперсии.