Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.)

Жанр: Радиотехнический

Просмотров: 1309


7.1. математическая постановка задачи

 

Пусть слой D (рис. 7.1) идеальной несжимаемой и непроводящей жидко- сти  находится  в  поле  сил  тяжести.  Снизу  он  ограничен  твердым       дном z = - h(x,y),   а   сверху  –  свободной  поверхностью  z = (x,y,t), подверженной внешним возмущениям. Гравитационное поле с ускорением свободного паде- ния g направлено против оси Oz.

 

z

 

0

D         Жидкость

 

-h

 

 

x,y,t)

 

x

 

 

Твердая поверхность

 

Рис. 7.1. Возмущение свободной поверхности плоского слоя жидкости

 

Задача об эволюции возмущения (x,y,t) свободной поверхности жидко- сти включает уравнение движения (см. лекцию 4)

 

                        1          

v  (v)v  

t

 

p  g , (7.1)

 

 

уравнение непрерывности

 

v

 
  (  )  0 ,

t

 

которое в случае несжимаемой жидкости ( = const) сводится к требованию

 

v

 
   0 ,        (7.2)

 

и соответствующие граничные и начальные условия.

 

v

 
Класс плоских движений жидкости является безвихревым позволяет ввести скалярный потенциал поля скоростей

Φ, определяемый выражением

([ ]  0) , что

 

v  Ф .         (7.3)

 

Подстановка (7.3) в (7.1), (7.2) сводит задачу к интегралу Бернулли – Коши [17]

 

Ф  1 Ф 2

 

 gz 

p  C(t)

 

(7.4)

t        2          

 

и уравнению Лапласа

 

Ф  0,

( x, y, z)  D .  (7.5)

 

 

Граничные условия для потенциала Φ на твердом дне состоят из кинема- тического условия

 

 

 

v

 
n  z  h( x, y )

 Ф

n

 

z  h( x, y )

 

 0 ,    (7.6)

 

 

выражающего обращение в нуль нормальной составляющей скорости, а на сво- бодной границе  –  из кинематического и динамического условий. Кинематиче- ское граничное условие выражает обращение в нуль полной скорости частиц

r

 
жидкости на свободной поверхности  ( , t )  0 :

 

d  

 

x  

y  

z  0

dt         t

x t

y  t

z  t

 

 

и, с учетом

   ( x, y, z)  z,

x / t  vx   Ф / x  Фx ,

y / t  v y  

 Ф / y  Фy ,      запишется в виде

 



t   Фx x

 

 Ф y y

 

 фz

 

 

z h( x, y,t )

 

 0 .    (7.7)

 

Динамическое граничное условие выражает непрерывность давления при пере- ходе через свободную поверхность и, с учетом интеграла Бернулли – Коши (7.4), может быть записано в виде

Ф  1 Ф 2

 

 g( x, y, t)

  1 p

 

( x, y, t)  0 ,   (7.8)

t        2

z  ( x, y ,t )          0

 

 

где p0 (x,y,t) – внешнее давление, действующее на свободной поверхности, на- пример, атмосферное, а произвольная функция времени C (t) путем выбора по- тенциала Φ положена равной нулю.

Начальные условия можно записать в виде

 

Ф

t 0

 Ф0 ( x, y, t) ,

t 0

 0 ( x, y, t) .            (7.9)

 

 

Итак, нелинейная краевая задача для уравнения Лапласа относительно потенциала поля скоростей в случае гравитационных волн на поверхности плоского слоя идеальной несжимаемой и непроводящей жидкости в общем ви- де формулируется следующим образом:

 

Ф  0 ,

( x, y, t )  D , (7.10 а)

 

 

Ф

n  z  h( x, y )

 

 0 ,    (7.10 б)

 

 

  Ф 

 

 Ф      Ф

 

 0 ,    (7.10 в)

t        x    x

y          y          z

z  ( x, y,t )

 

 

Ф  1 Ф 2

 

 g( x, y, t)

  1 p

 

( x, y, t ) ,         (7.10 г)

е       2

z  ( x, y ,t )          0

 

 

Ф

t 0

 Ф0 ,

t 0

 0 . (7.10 д)