Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.)

Жанр: Радиотехнический

Просмотров: 1309


Скачать книгу целиком

4.1. математическая постановка задачи

 

Полная система уравнений, описывающих движение газа в атмосфере без учета  диссипативных  эффектов,  включает  в  себя  [13]  уравнение  движения (в форме Эйлера)

 
 

 

v          v v

t

 

 
 
          

p          g          2          v          0,

 

 

(4.1)

 

 

уравнение непрерывности

 

0
 

v
 
         (4.2)

t

 

и уравнение состояния среды (Пуассона, так как мы пренебрегаем здесь тепло- обменом, рассматривая быстропротекающие процессы)

 

 
 
p          p0

.           (4.3)

0

 

 

 
 

 
 

 
 
Здесь   – плотность среды (она рассматривается как сплошная, т. е. использует-

ся гидродинамическое представление);

v u, v, w

– скорость частиц среды (гид-

 
 
родинамическая     скорость);       p          –          давление;       g          –          ускорение       силы   тяжести;

0,0,

z           – угловая скорость вращения Земли (ради простоты мы не учитыва-

ем ее широтную зависимость);        0    и

p0   – равновесные значения плотности и

 
 

 
 
давления;       – показатель адиабаты;         – оператор Лапласа.

Первое уравнение, согласно второму закону Ньютона, приравнивает про- изведение массы единичного объема среды на его ускорение сумме всех сил, действующих на эту массу: силы давления, силы тяжести и силы Кориолиса. Выражение в квадратных скобках представляет собой полную производную от скорости по времени (ускорение):

 

d
 
         

v          v

dt         t

 

 
 

 
 
                                                       v                 v          v            v        v                      v x        x                       y             x          z           z

 
 

 

v          v          v.

t

 
 
Уравнение  (4.2)  выражает  закон  сохранения  массы  жидкости.  В  слу- чае  несжимаемой  жидкости,  когда  плотность  постоянна  (   = const), оно принимает вид

 

v
 
         0.

 

 

(4.4)

 

 

Рассмотрим малые возмущения параметров среды:

 

 

0

 
 
p          p0

 
 

 
 
         

v          v0

 

1,         1

 
 
p1 ,  p1

v1 ,  v1

0 ,

 
 
p0 ,

 
 
v0 .

 

Подставляя эти выражения в (4.1) – (4.3), линеаризуем задачу:

 

u          

0          t           v0        u

p

 
 

 
 
x          2  0      z v        0,

 

(4.5)

 

 

v          

0          t           v0        v

p

 
 

 
 
y          2  0      z u        0,

 

(4.6)

 

 

 
 

 
 
w                  p

0          t           v0        w

g          0,

z

(4.7)

 

 

t           v0

w         0          

0,
 

0        v
 
z

 

(4.8)

 

 

 
 
p          

t           v0        p

     p0

 
 

w
 
z

p          

 
 

c
 

2
 
s           t           v0

     p0   .

 
 

w
 
z

 

(4.9)

 

 

 
 

 
 

 
 
Здесь u, v, w, p  и       – возмущения соответствующих величин (индекс «1» для

простоты опущен); c s

p0  /

0  – скорость звука.

Из (4.8), (4.9) и уравнения гидростатики

 

 

 

находим

p0

 
 
z

 

Dp

Dt        0 gw

 

0 g

 

 
 

c
 
2          

s           0          v,

 

(4.10)

где

 

 

 
 
D                  –

v0

Dt        t

 

оператор Стокса.

Далее выполним операцию

 

 

D / Dt

 

 

над (4.7):

 

 

D 2 w

Dt 2

1          D         p

0   Dt   z

g  D      0.

0   Dt

 

 

 
 
Здесь учтено, что D

0  / Dt

0 и опущен член, содержащий произведение двух

 
 

 
 
малых величин:  и w. Подставляя в последнее уравнение

лучаем

D         / Dt

из (4.9), по-

 

 

 
 

2
 
D         N 2   w            1          D

g          p          0;

 
 
2

 

(4.11)

Dt        0   Dt

t           c s

 

 

2
 
N 2      g          g          ,

1          0 .

c
 
2

s           0

 

 
 

 
 

z
 
Величина N, определяющая частоту свободных вертикальных колебаний в стратифицированной среде (атмосфере или океане), называется частотой Брента-Вяйсяля,    – параметр стратификации.

Перейдем в уравнениях (4.5) – (4.7), (4.10), (4.11) к новым переменным,

обозначив

 

1 2

U         0          u, V

s

1 2

0          v, W

s

1 2

0          w, P

s

1 2

0          p ,

s

 

 

 
 
(           s  – плотность атмосферы у поверхности Земли):

 

DU       1          P

Dt        s           x

 

 
 
2          zV        0,

 

(4.12)

 

 

DV       1          P Dt                 s                       y

 

 
 
2          zU        0,

 

(4.13)

1          DP       U         U

c 2   Dt             x          y

 

 
 
Γ W     0,

z

 

(4.14)

s   s

 

 
 

2
 
D         N 2   W           1          D

 

 
 
Γ  P      0,

 

(4.15)

Dt 2

 

Г

s   Dt    z

 

1                      0          g          g          ,

2  0      2          2          2

z           cs         cs

 

где Г – коэффициент Эккарта.

Малые возмущения скорости и давления будут распространяться по среде в виде плоских волн вида

 

 

U        AU V         AV W        AW

 

 
 
exp i kx            ly          t  .

 

(4.16)

 

 

Тогда применение использованных в (4.12) – (4.15) дифференциальных опера- торов эквивалентно из замене на следующие множители:

 

D

Dt        i           iu0 k

 

 
 
iv0l

 

i           ,           ik,

x

 

il.

y

 

 

 
 

 
 
В результате применения данной процедуры получаем

 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 
s           U         kP

i2  s      zV        0,

(4.17)

 

 

 
 
s           V         lP

i2  s      zU        0,

(4.18)

 

 

 
 
Γ  W    i  kU     lV

z

P          0,

c
 
2

s   s

(4.19)

 

 
 
N 2      2  W    i

s

Γ  P      0.

 
 
z

(4.20)

 

 

Система уравнений (4.17) – (4.20) описывает волны малых возмущений скорости и давления в атмосфере. Даже при сделанных упрощающих предпо- ложениях это достаточно сложная задача. Поэтому мы будем решать ее для ха- рактерных частных случаев.

| Оглавление|