Название: Восемь лекций по физике атмосферы и гидросферы (Браже Р. А.) Жанр: Радиотехнический Просмотров: 1339 |
4.1. математическая постановка задачи
Полная система уравнений, описывающих движение газа в атмосфере без учета диссипативных эффектов, включает в себя [13] уравнение движения (в форме Эйлера)
v v v t
p g 2 v 0,
(4.1)
уравнение непрерывности
t
и уравнение состояния среды (Пуассона, так как мы пренебрегаем здесь тепло- обменом, рассматривая быстропротекающие процессы)
. (4.3) 0
ся гидродинамическое представление); v u, v, w – скорость частиц среды (гид-
0,0, z – угловая скорость вращения Земли (ради простоты мы не учитыва- ем ее широтную зависимость); 0 и p0 – равновесные значения плотности и
Первое уравнение, согласно второму закону Ньютона, приравнивает про- изведение массы единичного объема среды на его ускорение сумме всех сил, действующих на эту массу: силы давления, силы тяжести и силы Кориолиса. Выражение в квадратных скобках представляет собой полную производную от скорости по времени (ускорение):
v v
v v v. t
(4.4)
Рассмотрим малые возмущения параметров среды:
v v0
v1 , v1 0 ,
![]()
Подставляя эти выражения в (4.1) – (4.3), линеаризуем задачу:
0 t v0 u p
![]()
(4.5)
0 t v0 v p
![]()
(4.6)
![]()
0 t v0 w g 0, z (4.7)
t v0 w 0
(4.8)
![]() ![]() t v0 p p0
p
p0 .
![]()
(4.9)
![]() простоты опущен); c s p0 / 0 – скорость звука. Из (4.8), (4.9) и уравнения гидростатики
находим p0
0 g
s 0 v,
(4.10) где
Dt t
оператор Стокса. Далее выполним операцию
D / Dt
над (4.7):
D 2 w
1 D p
g D 0. 0 Dt
0 / Dt 0 и опущен член, содержащий произведение двух
![]() лучаем D / Dt из (4.9), по-
g p 0;
(4.11) Dt 0 Dt t c s
1 0 .
s 0
Перейдем в уравнениях (4.5) – (4.7), (4.10), (4.11) к новым переменным, обозначив
U 0 u, V s 1 2
s 1 2
s 1 2
s
![]()
(4.12)
![]()
(4.13)
![]() z
(4.14) s s
![]()
(4.15) Dt 2
Г s Dt z
2 0 2 2 2 z cs cs
где Г – коэффициент Эккарта. Малые возмущения скорости и давления будут распространяться по среде в виде плоских волн вида
![]()
(4.16)
x
il. y
i2 s zV 0, (4.17)
![]() i2 s zU 0, (4.18)
![]() z P 0,
(4.19)
![]() s Γ P 0.
![]() (4.20)
Система уравнений (4.17) – (4.20) описывает волны малых возмущений скорости и давления в атмосфере. Даже при сделанных упрощающих предпо- ложениях это достаточно сложная задача. Поэтому мы будем решать ее для ха- рактерных частных случаев. |
|