Название: Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения - Методические указания (В. К. Манжосов)

Жанр: Машиностроительный

Просмотров: 1278


3. напряжения в точках поперечного сечения при изгибе с кручением

Рассмотрим поперечное сечение стержня (рис. 10), испытывающего изгиб с кручением. В поперечном сечении действуют следующие внутренние сило-

вые факторы: поперечные силы Qy

и Qz , изгибающие моменты

M y   и

M z ,

крутящий момент

M x .

 

 

y

M y

 

Qz

 

M Z

x

z           Qy       M X

 

Плоскость действия изгибающих моментов  M y

и  M z

проходит через

главные центральные оси  y и z поперечного сечения. Используя принцип не- зависимости действия сил, можно задачу определения напряжений в точках поперечного сечения свести к задачам определения напряжений в точках по- перечного сечения при поперечном изгибе, рассматривая отдельно попереч-

ный изгиб стержня в плоскости

y  x

и поперечный изгиб стержня в плоско-

сти

z  x , а также определения касательных напряжений

 (M x )

в точках по-

перечного сечения от действия крутящего момента

M x .

Касательные напряжения

 (M x )

в произвольной точке поперечного се-

чения, имеющей координаты y и z (рис. 11, а), при кручении стержня кругло-

го поперечного сечения определяются по формуле

M x

 (M x ) =       

J p

,           (1.20)

 

где  

 

y 2   z 2

 

– расстояние от рассматриваемой точки С до точки О про-

дольной оси стержня;

J p  

полярный момент инерции поперечного сечения

относительно точки О;  y и z – координаты точки, где определяются касатель-

ные напряжения.

 

y

 

C     y

y

M

 
y

 

C      y

 

 

z           z           O

O         Qz

z           z

Q

 
M X     M Z

y

 

а)         б)

Рис. 11.

 

Максимальные по модулю касательные напряжения возникают в наибо- лее удаленных точках поперечного сечения на расстоянии, равном радиусу круга,

M x

J

 
 max (M x ) =

p

3

M x

W

 
max            ,

p

          Dc

max      2

 

,           (1.21)

 

где Dc

 

– диаметр круга;

W = Dc p      16

 

– полярный момент сопротивления попе-

речного сечения.

 

При поперечном изгибе при нагружении стержня в плоскости

y  x  в

произвольной точке поперечного сечения возникают нормальные напряжения

 (M z )

от действия изгибающего момента

J

 

z

 
 (M ) =  M z

z

M z (рис. 11, б)

 

y ,        (1.22)

где

J z –     момент           инерции         поперечного  сечения           относительно оси      z ;

y  координата точки по оси y .

Знак «минус» означает, что при положительных значениях изгибающего

момента M z

в точках поперечного сечения, имеющего положительные коор-

динаты y , возникают нормальные напряжения сжатия.

Касательные напряжения  (Qy )

в произвольной точке поперечного сече-

ния от действия поперечной силы Qy

равского

могут быть определены по формуле Жу-

 

*

 

 (Qy ) =

Qy S z

J z bz

 

,           (1.23)

 

*

где

Qy – значение поперечной силы в поперечном сечении;

S z – статический

момент относительно оси  z части поперечного сечения, расположенной над точками поперечного сечения с координатами  y (на рис. 12, а эта часть сече-

ния заштрихована);

bz – длина отрезка поперечного сечения, параллельного

оси z и проходящего через точки с координатами y (рис. 12, а).

 

b

 
y

z           y

 

C         y

 

z           z           O

 

а)         б)

Рис. 12.

 

Касательные напряжения  (Qy )

распределены по высоте поперечного се-

чения по нелинейному закону (рис. 12,б). Максимального значения касатель- ные напряжения для круглого поперечного сечения достигают в точках, лежа- щих на оси z , причем

 

 

 max (Qy ) =

4 Qy

 

,           (1.24)

3  A

где А – площадь поперечного сечения.

При поперечном изгибе при нагружении стержня в плоскости

z  x  в

произвольной точке поперечного сечения возникают нормальные напряжения

 (M y )

от действия изгибающего момента

M y

M y (рис. 11, б)

 

 

где

 (M y ) =       z ,         (1.25)

J y

J y –     момент           инерции         поперечного  сечения           относительно оси      y ;

z  координата точки по оси z .

Касательные напряжения  (Qz )

 

 

в произвольной точке поперечного сече-

ния от действия поперечной силы  Qz

Журавского

могут быть определены по формуле

 

*

 

 (Qz ) =

Qz S y

J y by

 

,           (1.26)

 

*

где

Qz – значение поперечной силы в поперечном сечении;

S y – статический

момент относительно оси y части поперечного сечения, расположенной от от-

резка by

в сторону оси z (на рис. 13, а эта часть сечения заштрихована);

by –

длина отрезка поперечного сечения, параллельного оси  y и проходящего че-

рез точки с координатами z (рис. 13, а).

 

y

 

C

y

 

Подпись: b yz z        z           O

 

а)         б)

Рис. 13.

 

Касательные напряжения

 (Qz )

распределены по ширине поперечного

сечения по нелинейному закону (рис. 13, б). Максимального значения каса-

 

тельные напряжения для круглого поперечного сечения достигают в точках,

лежащих на оси y , причем

 

 max (Qz ) =

 4 Qz   ,

3  A

где А – площадь поперечного сечения.

Ось  z , где расположены точки поперечного сечения с максимальными

 max (Qy ) , и ось  y , где расположены точки поперечного сечения с максималь-

ными  max (Qz ) , пересекаются в центре тяжести  поперечного сечения. В точке пересечения (в центре тяжести  поперечного сечения) максимальные касатель- ные напряжения

2          2          4 1       2

2          4 Q

 max =

 max (Qy )   max (Qz ) =

3 A

Qy   Qz    = 3 A ,

где  Q 

Q 2   Q 2  – поперечная сила в сечении.

y          z

Нормальные напряжения   в произвольной точке поперечного сечения

от действия изгибающих моментов M z

и M y

суммируются

 

 =  ( M z )+ ( M y ) =

 M z

J z

M y

y +       z

J y

 

.           (1.27)

В поперечном сечении существуют такие точки (обозначим координаты этих

точек

y0  и

z0 ), для которых   = 0, т.е.

M z      M y

J

 
            y0  +

z

z0  = 0.

J

 
y

Из данного равенства следует, что

 

 

M z    J y

z0 =

 

J z   M y

y0  .

Учитывая, что для круглого поперечного сечения

M z

J y   J z , получим

z0 =

y0 .      (1.28)

M

 
y

M

Обозначим отношение         z

M y

 

= k . Тогда

z0 =

k y0

.           (1.29)

Это уравнение прямой линии, проходящей через начало координат (центр тя-

жести поперечного сечения) с угловым коэффициентом

 

k = tg  ,

 

tg 

= M z

M y

 

,           (1.30)

где   – угол между координатной осью  y и линией, в точках которой нор-

мальные напряжения равны нулю.

 

Эта линия называется нулевой (или нейтральной) линией. Ее положение относительно оси  y определяется углом   . Если угол   > 0, то он должен быть отложен от оси y против часовой стрелки (рис. 14, а). Если угол  < 0, то

этот угол должен быть отложен от оси y по часовой стрелке (рис. 14, б).

 

y          y

 

         

O         O

z           z

 

нулевая линия нулевая линия

 

а)               б)   

Рис. 14

 

Рассмотрим    положение     произвольной

y

 
точки  С  поперечного  сечения  относительно              y

нулевой линии (рис. 15). Точка С имеет коор-      н

динаты  y и  z  в системе координатных осей

y , z . Введем новую систему координат

yн   и

C         y          E

zн , проходящих через центр тяжести попереч-     z

ного сечения таким образом, что ось

yн  совпа-       z           O

z

 
н

дает с нулевой линией, а ось  zн

перпендику-   D

лярна  нулевой  линии  (рис.  15).  Координаты   zн

точки С в новой системе координатных осей,

повернутых относительно осей  y и  z на угол

 , могут быть определены как

 

Рис.15

 

 

yн =

y cos   z sin  ,

zн  =

z cos   y sin 

.           (1.31)

Заметим, что модуль координаты zн

левой линии.

определяет расстояние от точки С до ну-

В произвольной точке С, имеющей координаты  y и  z , нормальные на-

пряжения   определяются как

 

  =  M z

J z

y + M y

J y

 

z .         (1.32)

 

Преобразуем данное равенство следующим образом:

  = M y ( z   M z    J y

 

y ) .

J y        J z   M y

Учитывая,  что  для  круглого  поперечного  сечения

J y   J z ,        а  отношение

M z  = tg  , получим

M y

M

  =

 

y ( z  tg   y) =

 

M y   z cos   y sin   .

J y        J y

cos 

Но из (1.31) zн

= z cos   y sin  . Тогда

  = M y

J y

         zн

cos 

 

,           (1.33)

т. е. нормальные напряжения       в произвольной точке поперечного сечения

пропорциональны координате  zн

этой точки (модуль  zн

определяет расстоя-

ние от рассматриваемой точки до нулевой линии).

Опасными точками будут те точки поперечного сечения, которые наибо-

лее удалены от нулевой линии. Для круглого поперечного сечения это точки D

и E (рис. 15), где ось zн

пересекает профиль сечения. Так как  ( zн ) max = r (где

r   радиус круга), то в опасных точках возникают максимальные по модулю нормальные напряжения

 

 max  =

 

J

M y   zr

J y        cos 

M y      1

=          

Wy       cos 

 

 

,           (1.34)

где Wy 

y   – осевой момент сопротивления поперечного сечения.

r

 

Учитывая, что tg 

 M z

M y

 

, cos 

M

         y sin 

M z

 

, можно выразить  max  как

 

 max  =

M z   

J z

 

r

sin 

 

M

=          z   

Wz

 

1

sin 

 

 

.           (1.35)

Расчет  max

в опасных точках поперечного сечения следует вести в опас-

ном сечении стержня. Естественно возникает вопрос: а где находится опасное

 

 

сечение?  Если

 

1

 

 max =

M y   1          , а также, что для      

Wy       cos    2          2

M 2      1          1

M

 
=          1  tg 2  ,        а

tg 2 

         z          

,           то

=          M 2   M 2  ,

cos 

2          cos    M         y          z

 

y

 

y

 
а максимальные по модулю нормальные напряжения

 

1

 max =

Wy

 

M

 

z

 

y

 
2   M 2

= M изг   ,

Wy

 

M изг  =

 

M

 

z

 

y

 
2   M 2

 

,           (1.36)

где

M изг

– модуль полного изгибающего момента.

Тогда опасным по нормальным напряжениям будет то поперечное сечение

стержня, в котором

M изг

достигает наибольшего значения.

Итак, в точках круглого поперечного сечения, удаленных от центра тяже-

сти на расстоянии, равном радиусу круга, возникают максимальные по моду-

M изг

лю нормальные  напряжения

 max =

Wy

и  максимальные по  модулю  каса-

тельные напряжения от действия крутящего момента M x

M x

 max (M x )  =

.           (1.37)

Wp

В центре тяжести поперечного сечения возникают максимальные каса-

тельные напряжения от действия поперечной силы

4 Q

 max (Q) =    ,

 

Q

 

y

 
Q      2

 

z

 
 Q 2

 

.           (1.38)

3 A

Как правило, более опасными являются периферийные точки круга. Проанали-

зируем напряженное состояние в этих опасных точках.

Выделим в окрестности опасной точки элементарный объем (рис.16, а), по

граням которого действуют нормальные напряжения  x

и касательные напря-

жения  x t (по граням, совпадающим с поперечным сечением стержня).

 

 

 

d xtx

 

xt      dr

x

3

d fr           A         O

D

 

D 1

 

C 1 1            

1

 
O         x       B

 

 

D 2

 

x

a)         б)

Рис. 16

 

По перпендикулярным граням, плоскость которых проходит через про-

дольную ось х, действуют только касательные напряжения  t x

(первый индекс

соответствует направлению нормали к грани, а второй индекс – направлению

 

самого касательного напряжения). На рис. 16, а напряжения на невидимых гранях условно не показаны, чтобы не загромождать рисунок.

Решение обратной задачи при анализе напряженного состояния в опасной

точке (определение главных напряжений  1

и  3 ) при известных нормальных

( x  0 ,

 t = 0) и касательных  x t

и  t x

напряжений в двух взаимно перпен-

дикулярных гранях элементарного объема осуществим путем построения кру-

га Мора (рис. 16, б).

Для этого проведем координатные оси    и   (рис. 16, б). На оси   от-

ложим отрезок

OC1 , соответствующий в определенном масштабе нормально-

му напряжению  x . Из точки C1

построим отрезок

C1D1 , соответствующий в

масштабе значению касательного напряжения  x t . Так как во взаимно перпен-

дикулярной грани нормальные напряжения

 t = 0 (изображающая это напря-

жение точка на оси   совпадает с началом координат – точкой О) и действуют

только касательные напряжения  t x , то из точки О строим отрезок

ветствующий в масштабе касательному напряжению  t x .

ОD2 , соот-

По закону парности касательных напряжений следует, что

 t x =

 x t . По-

этому отрезки

ОD2

и C1D1  равны между собой. Соединим точки

D1  и

D2 . Пе-

ресечение отрезка

 х

D1D2

с  осью         произойдет  в  точке

О1 ,  причем

ОО1 =

= О1С1 =  2

. Радиусом

О1D1

из точки О1

проведем окружность, которая пере-

сечет ось   в точках А и В. Отрезок ОА в масштабе соответствует главному

напряжению  3 , а отрезок ОВ – главному напряжению  1 .

Радиус О1D1 окружности равен

О D  =  1   3

1          1          2

 

.           (1.39)

С другой стороны О1D1  гипотенуза прямоугольного треугольника О1С1D1  и

2

2          2            x           2

О1D1 =

(O1C1 )

 (C1 D1 )  =

         

 2  

  xt

.           (1.40)

Приравнивая равенства (1.39) и (1.40), получим

2

 1   3   =

         x  

 

  2     2          2

         

2           2 

xt         или

 1   3  =

 x   4 xt

.           (1.41)

Отрезок ОВ = ОО1 + О1В . Переходя к напряжениям, имеем

2

 х        x           2

 1  =  +

2

         

 2  

  xt

.           (1.42)

Отрезок ОА =

получим

О1О

– О1 А . Переходя к напряжениям и учитывая, что

 3 < 0,

 

2

 
 х        x           2

 3  =  –

2

         

 2  

  xt

.           (1.43)

 

M изг

Если  учесть, что в опасной точке поперечного сечения  х =  max =

Wy

M x

, а ка-

сательные напряжения

 x t =

 max (M x )   =

, то при изгибе с кручением

Wp

стержня круглого поперечного сечения в опасных точках сечения

 

         2       2

M изг

 М изг       M x

+

 
 1 =

+

2Wy

 

2W

 

W

 
                  2

         y       p

2

+

 
                  2

,           (1.44)

M изг

 М изг       M x

 3 =

2Wy

 

2W

 

W

 
         

         y  

2    .     (1.45)

p

 

 

Если учесть, что для круглого поперечного сечения полярный момент сопро-

тивления W p

= 2Wy , то последние равенства можно преобразовать к виду

 

 

 

 1  =

 

 3  =

1

2Wy

1

2Wy

 

(M изг 

 

(M изг 

 

M

 
2

изг

 

M

 
2

изг

 

х

 
M 2 ) , (1.46)

 

х

 
M 2 ) . (1.47)

 

 

Если теперь учесть, что М 2

 М 2   M 2 , то

изг       y          z

 

2          2          2          2          2

M изг

M х  

M x  M yM z

= M 0

,           (1.48)

 

 

где M 0

 модуль главного момента внутренних сил в поперечном сечении при

приведении их к центру тяжести сечения.

Тогда

   1       M изг

 М 0

 1  =

Wy

         ,           (1.49)

2

 

 

   1       M изг

 М 0

 3  =

Wy

         .           (1.50)

2