Название: Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения - Методические указания (В. К. Манжосов)

Жанр: Машиностроительный

Просмотров: 1274


1. составление расчетной схемы стержня

 

При составлении расчетной схемы стержня силы Р1  и Р2  , приложенные в точках К1 и К2  вне продольной оси стержня, необходимо привести к продоль-

 

ной оси стержня, выбрав в качестве центра приведения для силы Р1  точку О1, а для силы Р2    – точку О2  . Точки О1  и О2  – это точки пересечения плоскости дисков 1 и 2 с продольной осью стержня.

При приведении силы

P1   из точки

K1  в точку  O1

необходимо добавить

момент силы

P1   относительно центра приведения (момент

M 1 ). Модуль мо-

мента

M 1  равен

 

M1 = O1K1  P1  cos1 ,

 

 

M         = P   D1   ,    (1.1)

1          1t         2

где

P1t

 P1 cos1

– модуль окружной составляющей силы

P1   (модуль проек-

ции силы

P1  на касательную к окружности в точке

K1 );

D1  –  диаметр окруж-

ности с радиусом O1K1 .

Процедура определения сил и моментов в ряде задач может быть обрат-

ной. По постановке задачи вначале может быть определен модуль момента си-

лы  P1

относительно точки  O1

(момент

M1 ). Затем при известном значении

диаметра

D1  может быть определен модуль проекции силы

P1  на касательную

в точке

K1 и модуль силы P1

 

P1t

 2M1   ,

 

P1  =

 

P1t

 

/ cos1  

2M1

D cos

 

.           (1.2)

D1       1          1

При приведении силы

P2   из точки  K 2

в точку O2

необходимо добавить

момент силы  P2

относительно центра приведения (момент

M 2 ). Модуль мо-

мента M 2

равен

 

 

M 2  = O2 K 2  P2t ,

 

 

M         = P   D2   ,    (1.3)

2          2t         2

где

P2t

 P2 cos 2

– модуль окружной составляющей силы P2

(модуль проек-

ции силы P2

на касательную к окружности в точке

K 2 );

D2  – диаметр окруж-

ности с радиусом O2 K 2 .

Если по условию задачи вначале удается определить модуль момента си-

лы P2

относительно точки O2

(момент

M 2 ), то при известном значении диа-

метра

D2  может быть определен модуль проекции силы

P2   на касательную в

точке

K 2  и модуль силы

P2 , т. е.

P           2M 2   ,

 

P  = P

 

2

 
/ cos  

2M 2

 

.           (1.4)

D

 
2t         2          2t

2

D2 cos 2

На рис. 2, а  в плане показан диск 1 (если смотреть на диск 1 со стороны

продольной оси х), точки

K1 и

O1 , сила

P1 , приведенная к точке

O1 , и момент

M1 , равный модулю момента силы

P1  относительно точки O1 .

 

На рис. 2, б  в плане показан диск 2 (если смотреть на диск 2 со стороны

продольной оси х), точки

K 2  и O2 , сила

P2 , приведенная к точке O2 , и момент

M 2 , равный модулю момента силы

 

y

P2  относительно точки O2 .

 

y

P

 

1

1          K2       P2

2

á

 
M 1

P

 
2          O 2

z           O 1      z

K1       M 2

 

P1

 

а)         б)

 

Рис.2

 

Так как силы

P1  и

P2   могут быть расположены к оси  y под разными уг-

лами  p1

и  p 2

(рис. 2), целесообразно эти силы после приведения их к точ-

кам O1

и O2

разложить на составляющие

P1 y ,

P2 y и

P1z , P2 z , линии действия

которых параллельны соответствующим осям      y и  z . В этом случае мы при-

ходим к единым плоскостям нагружения стержня (нагружение в плоскости

y  x , нагружение в плоскости

z  x ).

На рис. 3, а  в плане показан диск 1, силы

 

y

1

P1 y  и

P1z , а также момент

 

y

2

M1 .

 

 

P1z

z

P1y

M 1

 

O 1

 

P2z

z           M

P2y

 

O 2

2

 

 

а)         б)

Рис.3

 

Проекции сил

P1 y  и

P1z

на координатные оси y и z могут быть найдены как

P1 y = P1 cos p1 ,

P1z = P1 sin  p1

.           (1.5)

 

На рис. 3, б  в плане показан диск 2, силы

P2 y  и

P2 z , а также момент

M 2 .

Проекции сил

P2 y

и P2 z

на координатные оси y и z могут быть найдены как

P2 y = P2 cos p 2 ,

P2 z = P2 sin  p 2

.           (1.6)

Естественно возникает вопрос: а как определить углы

 p1

и  p 2

(углы

между осью y и линиями действия сил

P1  и

P2 ), если заданы положения точки

K1  (угол

 k1 ) и точки  K 2

(угол

 k 2 ), линии действия силы

P1   относительно

касательной в точке

K1 (угол 1 ), линии действия силы P2

относительно каса-

тельной в точке

K 2  (угол  2 ).

Рассмотрим для этого возможные схемы приложения произвольной силы

P в точке K под углом  к касательной (рис. 4, а, б).

y          y

p

 

a

 

к

 

к

 
         

O         O

z           z           P

K         P

P

         K

 

а)         б)

 

Рис.4

 

Ограничимся случаем, когда сила P направлена в зону между точкой О и касательной к точке K . Здесь возможно рассмотрение двух схем:

1) сила P , приложенная в точке K , стремится повернуть диск вокруг точки О

против часовой стрелки (рис 4, а);

2) сила P , приложенная в точке K , стремится повернуть диск вокруг точки О

по часовой стрелке (рис 4, б).

В первом случае (рис.4, а) угол  p

определится как

 

 

во втором случае (рис.4, б)

 p = k + (

2

 

  p = k – (

2

  ) ,    (1.7)

 

  ) .    (1.8)

Общей формулой, описывающей оба случая, является

 p = k  (

2

  ) ,    (1.9)

 

где знак «плюс» принимается в случае, если сила P  в точке K стремится по- вернуть диск против часовой стрелки; знак «минус» принимается в случае, ес- ли сила P в точке K стремится повернуть диск по часовой стрелке.

Так как в построенной нами схеме (рис. 1) сила

P1   стремится повернуть

диск 1 по часовой стрелке, значение угла  p1 определится по формуле (1.8)

 p1 = k1 – (

2

  ) .    (1.10)

На схеме, изображенной на рис. 1, сила P2

стремится повернуть            диск 2

против            часовой          стрелки.          Поэтому значение угла  p 2

формуле (1.7)

определится по

 

  p 2 = k 2 + (

2

 

  ) .    (1.11)

Заметим, что значения угла  ki

( i =1,2) берутся с учетом его знаков. Если

ось  y до совмещения с радиусом-вектором ОК поворачивается против часо-

вой стрелки, то угол

 ki

считается положительным. Если ось  y до совмеще-

ния с радиусом-вектором ОК поворачивается по часовой стрелке, то угол

считается отрицательным.

 ki

Изобразим расчетную схему стержня с действующими на него силами на рис. 5.

A         M 1      P1z

M 2      P2z      B

X

 

a          b          c

 

P1y

 

Рис. 5

 

P2y

 

Так как стержень находится в состоянии статического равновесия, то из условий равновесия следует, что сумма моментов сил относительно продоль- ной оси x должна быть равна нулю:

 M x (Pi )  0 .

Если пренебречь трением в опорах А и В стержня, то

 

 M x ( Pi  )  M 1  M 2   .

Из условия равновесия следует

D2       D1

 M 1  M 2

 0 ,

M 2   M1 ,

P2t       = P1t    ,           (1.12)

2          2

 

откуда

P1t    D2

P2t       D1

 

,           (1.13)

 

т. е. в условии статического равновесия отношение окружных составляющих

сил

P1t   и

P2t

обратно пропорционально отношению диаметров окружностей

D1  и

D2 , на которых лежат точки приложения сил (точки

K1 и

K 2 ).

Равенство (1.13) при известных значениях

D1  и

D2  позволяет определить

P2t

(если найдено значение

P1t ) или, наоборот, определить

P1t

(если найдено

значение

P2t ):

 

P2t =

 

 

D1

D

 
P1t       ,

2

 

 

P1t

 

 

D2

D

 
= P2t

1

 

 

.           (1.14)

Используя       принцип         независимости          действия         сил,     расчетную      схему стержня (рис.6, а) можно представить в виде следующих расчетных схем:

 

A         M 1

 

P1z

 

M 2      P2z      B

x

 

a          b          c

P1y

P2y

а) расчетная схема нагружения стержня

 

A         B          y

x

a          b          c          z           x

P1y      P2y

б) расчетная схема нагружения стержня в плоскости  y - x

A         P1z      P2z      B

x

x

a          b          c          y

z

в) расчетная схема нагружения стержня

в плоскости z - x

 

A         M 1      M 2      B

x

 

a          b          c

 

г) расчетная схема нагружения стержня при кручении

 

Рис. 6

 

 расчет стержня на изгиб при его нагружении  в плоскости

 расчет стержня на изгиб при его нагружении  в плоскости

y  x

z  x

(рис. 6, б);

(рис. 6, в);

 расчет стержня на кручение при    его нагружении моментами

M1  и

M 2 ,

плоскости действия которых совпадают с плоскостями дисков 1 и 2 и перпен-

дикулярны продольной оси стержня (рис. 6, г).