Название: Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения - Методические указания (В. К. Манжосов)

Жанр: Машиностроительный

Просмотров: 1288


4. расчет на прочность при изгибе с кручением стержня круглого поперечного сечения

При расчете на прочность в опасных точках опасного сечения анализиру-

ется неравенство

 экв

  ,         (1.51)

где

 экв  эквивалентные нормальные напряжения, учитывающие главные на-

пряжения

 1 ,

 2 ,  3

по главным площадкам в опасной точке;  

допус-

каемые напряжения для материала стержня.

Для вычисления

 экв

можно воспользоваться формулами соответствую-

щих теорий прочности. По третьей теории прочности

 

 

Учитывая выражения для

( экв )3    1   3

 1  и  3 , получим

.           (1.52)

2          2          2

 

( экв )3

 М 0   =

Wy

 

2          2

M х  M yM z

Wy

 

2

(М пр )3

=

Wy

 

,           (1.53)

где

(М пр )3  = M 0  =

M x  M yM z

– приведенный момент в поперечном се-

чении, вычисленный по третьей теории прочности.

По четвертой теории прочности

 

(        )           

1     

 

2        

 

2      

2  .    (1.54)

 

экв   4

2 (  1

2 )        (           2

3 )        (  1       3 )

При изгибе с кручением стержня круглого поперечного сечения в окрестности опасной точки одна из главных площадок элементарного объема находится на боковой поверхности стержня и нормальные напряжения там отсутствуют .

Тогда, принимая, что  2

= 0, получим

(        )                    1

 

 2  

 

 2     

 

          2   

 

2                .

 

экв   4

2 (2  1  2  3

2  1    3 )

 

1          3          1    3

Так как с учетом выражений (1.49) и (1.50) для  1

и  3

2          2             1

2

M

 
изг

 М 2

2

M

 

1

 
            изг

 М 2

0

 

0

 
 1    3   =

2       ,

 1   3  =

2       ,

Wy       2

Wy       4

2          2          2          2

 

то        2          2

   1       M изг

 М 0

   1       M изг

 М 0

 1    3 –  1   3   =

2       –

2       и после

Wy       2

Wy       4

 

преобразований получим

 

 2    2 –         =

1  (M 2

 3 М 2 ) .

W

 
1          3          1          3          2

y

изг       4          х

Тогда эквивалентные напряжения по 4-й теории прочности

1

( экв )4  

Wy

 

M

 
2

изг

 

х

 
 0,75М 2

(М       )

         пр   4

Wy

 

,           (1.55)

 

 

где  (М            )           

М 2       0,75М 2          =

М 2   M 2   0,75М 2

–  приведенный  мо-

пр   4

изг

х          y          z           х

мент в поперечном сечении, вычисленный по 4-й теории прочности.

Вернемся теперь к условию прочности (1.51)  экв

(1.53) и (1.55) запишем как

  , которое с учетом

(M пр )i

Wy

 

   ,

 

i  3

 

или

 

i  4

 

,           (1.56)

где  индекс     i  = 3 означает, что приведенный момент

(М пр )i

вычисляется по

третьей теории прочности с использованием формулы (1.53),

2          2          2

(М пр )3  =

M x  M yM z

,           (1.57)

а индекс i  = 4 означает, что приведенный момент

(М пр )i

вычисляется по чет-

М

 
вертой теории прочности с использованием формулы (1.55),

(М пр )4  

2

М

 
изг

 0,75М 2   =

2   M 2

 0,75М 2

 

.           (1.58)

х

 

z

 

х

 

y

 
Расчет на прочность может проводиться  как поверочный и связан с ана-

лизом выполнения неравенства (1.56) при известных значениях

М пр , осевого

момента сопротивления поперечного сечения Wy

и допускаемого напряжения

  . Расчет на прочность может проводиться как проектировочный и связан,

как правило, либо с определением

материала.

Wy , либо с определением  

и выбором

При  проектировочном  расчете,  когда  неизвестной  величиной  является

Wy , из формулы (1.56) следует

(M пр )i

Wy     

 

, i  3

 

или

 

i  4 .  (1.59)

Для круглого кольцевого сечения стержня

3

D

 

c

 

c

 
 (       3

 d 3 )

D3

 dc  

c

 
Wy =

32

=          [1  

32        D

 ] ,     (1.60)

         c 

где

Dc  

диаметр  внешней  окружности  кольцевого  сечения;

dc   диаметр

внутренней окружности кольцевого сечения.

 

Если задано соотношение

dc    k , то диаметр

Dc

 

Dc   может быть определен из

 

(1.59) с учетом (1.60) как Dc

32(М пр )i

 3   (1  k 3 )  , а диаметр dc

 

 kDc .            (1.61)