Название: Механика. Электричество. Часть 1 - курс лекций (А. Б. Климовский)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1312


Тема: элементы специальной теории относительности

 

Вопросы:

1.   Принцип относительности Галилея.

2.   Постулаты специальной теории относительности.

3.   Преобразования Лоренца координат и скоростей.

4.   Эффект замедления времени.

5.   Эффект сокращения длины.

6.   Релятивистская масса и импульс.

7.   Энергия покоя. Релятивистская кинетическая энергия.

 

В предыдущих темах мы рассматривали движение тел, не делая никаких оговорок о величине скорости движения, как бы предполагая, что полученные выражения спра- ведливы при любой скорости. Но это не так. Механика, с которой мы до сих пор имели дело, называется классической или ньютоновской механикой. Ее законы справедли- вы при не очень больших скоростях. В этой теме мы рассмотрим ограничения класси- ческой механики и элементы более общей теории, законы которой справедливы при любых скоростях – релятивистской механики, а именно ее части, рассматривающей движение относительно инерциальных систем отсчета – специальной теории относи- тельности.

 

Поскольку движение происходит в пространстве и во времени, основой механики являются представления о пространстве и времени.

 

В основу классической механики, созданной Ньютоном, были положены пред- ставления о пространстве и времени, взятые из повседневного житейского опыта. Посмотрим, к каким результатам они приводят. Поскольку законы Ньютона справедли- вы  в инерциальных системах отсчета, описание будем вести в инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим  две  инерциаль-

ные системы отсчета, движущиеся Y

друг относительно друга с посто-   K

янной скоростью V . Одну из этих систем  обозначим  буквой   K         и

будем условно считать неподвиж-  O

/

Y         /           P

K

 

O /       V

 

ной.  Вторая  система

K /       будет

x          X, X /

двигаться прямолинейно и равно-

мерно  относительно первой.           Z          Vt

Выберем  координатные  оси          X ,

 

 

Z /        x /

Y ,  Z  системы  K  и оси

X / , Y / , Z /

системы

K / , так чтобы  X  и  X /

совпадали, а

оси Y и Y / , а также Z и Z /

были параллельны друг другу.

Найдем связь между координатами  x ,  y ,  z некоторой точки  P в системе  K  и

 

координатами

x / ,

y / ,

z /  той же точки в системе

K / .

Если начать отсчет времени с момента, когда начала координат обеих систем сов-

 

падали, то

x  x/  Vt .

 

Кроме того, очевидно, что

y  y /  и

z  z / .

 

Добавив к этим соотношениям принятое в классической механике предположе-

 

ние, что время в обеих системах течет одинаковым образом, то есть

t  t / , тогда полу-

чим  преобразования  координат,  называемые  п р е о б р а з о в а н и я м и    Г а л и л е я

д л я  к о о р д и н а т  и  в р е м е н и ,

 

x  x/  Vt ,

 

y  y / ,

 

z  z / , t  t /   .

 

Продифференцировав записанные соотношения по времени, найдем связь между

скоростями точки  P по отношению к системам отсчета  K  и  K /

н и я  Г а л и л е я  д л я  с к о р о с т е й :

 

– п р е о б р а з о в а-

 

x

 
v x  v /   V ,

 

y

 
v y  v / ,

 

z

 
v z  v /           .

 

Три скалярных соотношения для проекций скоростей эквивалентны одному соот-

ношению между вектором скорости v

относительно системы K и вектором скорости

v /        относительно системы

K / :

 

                  

v  v /  V .

 

Уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной систе- мы отсчета к другой, то есть, как говорят, они инвариантны по отношению к преобра- зованию координат, соответствующему переходу от одной инерциальной системы от- счета к другой.

Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных сис- темах отсчета протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механиче- скими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно, называется – п р и н ц и п о м  о т н о с и т е л ь- н о с т и  Г а л и л е я .

Из того, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета (ИСО), следует важный вывод – ни одна из ИСО ничем не выделена по сравнению с любой другой ИСО. То есть все ИСО эквивалентны, нет системы отсчета, которая бы находилась в состоянии абсолютного покоя.

 

Во второй половине XIX века уверенность в правильности этих представлений несколько пошатнулась. К тому времени Дж. К. Максвеллом (J. Maxwell, 1831–1879) была создана теория электромагнетизма (элементы этой теории мы рассмотрим позже, во второй части нашего курса, здесь же мы упоминаем эту теорию лишь в связи с ро- лью, которую она сыграла в создании специальной теории относительности). Теория

 

Максвелла предсказывала, что скорость света должна быть равна

v  3108 м / с

 

без

указания системы отсчета. Из этого  следовало, что должна существовать некоторая выделенная система отсчета, в которой скорость света имела бы такое значение. Кроме того, оказалось, что полученные Максвеллом уравнения не удовлетворяют принципу относительности – они записываются неодинаково в разных системах отсчета, причем

наиболее просто – в той ИСО, где скорость света равна 3 108 м / с .

В сложившейся ситуации нужно было выбирать или принцип относительности (имевший фундаментальное значение до того времени), или теорию Максвелла (кото- рая подтверждалась экспериментами). Попытки пересмотреть принцип относительно- сти и экспериментально обнаружить выделенную систему отсчета, «предсказанную» теорией Максвелла, не увенчались успехом.

 

Радикальный выход из сложившегося положения был предложен в 1905 году Альбертом Эйнштейном (A. Einstein, 1879–1955). В созданной им специальной теории относительности он совместил и принцип относительности, и результаты, получен- ные теорией Максвелла. Для этого ему пришлось отказаться от, казалось бы, незыбле- мых классических представлений о пространстве и времени, основанных на повседнев- ном опыте и здравом смысле.

 

Рассмотрим  основные  представления  специальной  теории  относительности

(СТО). Начнем с ее постулатов.

 

П е р в ы й  п о с т у л а т специальной теории относительности.

Все явления природы протекают одинаково в разных инерциальных системах от-

счета, все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерци- альной системы к другой, все инерциальные системы отсчета равноправны, среди них нет привилегированных.

Этот постулат распространяет принцип относительности Галилея за пределы классической механики.

 

В т о р о й  п о с т у л а т специальной теории относительности.

Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и

не зависит от движения источника и приемника света.

Два этих постулата образуют основу СТО.

 

Как следует из постулатов, скорость света, полученная в уравнениях Максвелла, есть скорость света в любой инерциальной системе отсчета. Но тогда должен нару- шаться классический закон сложения скоростей.

Действительно, возьмем уже рассмотренные инерциальные системы отсчета K и

/

K / . Закон сложения скоростей  классической механики v x  v x  V

не может выпол-

няться в          специальной  теории            относительности,      поскольку,      если

/

v x  c ,           то

v x  c  v x  c , что противоречит второму постулату. Поэтому преобразования Гали-

лея, из которых вытекает классический закон сложения скоростей, в СТО должны быть заменены новыми, не противоречащими постулатам специальной теории относитель- ности. Они были получены в 1904 году Хендриком Лоренцем (H. Lorentz, 1853–1928), еще до создания специальной теории относительности для объяснения отрицательного результата в экспериментах по обнаружению выделенной ИСО.

 

П р е о б р а з о в а н и я  Л о р е н ц а  к о о р д и н а т  и  в р е м е н и

Прямые преобразования ( K /  K ):

 

 

x/  Vt/

x 

V 2

1 

c2

 

, y  y / , z  z / ,

 

t /   V x/

.

 
t        c2

V 2

1 

c2

Обратные преобразования ( K  K / ) можно получить сменой знака скорости V

и переносом штрихов:

 

 

 

x /  

 

 

x  Vt

V 2

 

, y /

 

 y, z /

 

 z, t /  

t  V  x

c

 
2

.

V 2

1          1 

c 2       c 2

 

Преобразования записаны для тех же систем отсчета  K и

 

K / , которые мы ввели

при рассмотрении преобразований Галилея. Здесь V – скорость движущейся системы отсчета, c – скорость света.

Записанные преобразования не противоречат постулатам специальной теории от-

носительности, но из них получается, что время в различных системах отсчета течет неодинаково.

Из преобразования координат и времени Лоренца может быть получен р е л я- т и в и с т с к и й  з а к о н  с л о ж е н и я  с к о р о с т е й :

K /  K

 

v

 

1 -

 
/           V 2

/           y          2

/           1  V

v

 

z

 

2

 
2

v             v x V          ,  v

         c    ,  v

         c     .

x

 
x          v / V

y          v / V

z           v / V

x

 

x

 
1          1          1 

c2        c2        c2

 

Обратные преобразования можно также получить сменой знака скорости V  и пе- реносом штрихов:

K  K /

 

V 2

v y        1          2

V 2

v z        1          2

v

 

=

 

x

 
/           v x V    ,

v xV

/        c    ,

v

 

y

 
v xV

/        c     .

v

 

z

 
v xV

1          1          1 

c2        c2        c2

 

Релятивистский   закон   сложения   скоростей   при   малых   скоростях   ( V  c , v  c )  переходит в классический закон сложения скоростей. Вместе с тем релятиви- стский закон подчиняется второму постулату. Например, если свет распространяется

/           /           /

вдоль направления движения системы

cV

K / , то есть v x  c ( v y  0 , v z  0 ), то

cV

v x     cV

1 

c 2

         V

1   c

 c ,

v y  0 ,

 

v z   0 .

Если свет распространяется перпендикулярно скорости  V

движения системы

K / , на-

/           /           /

пример, вдоль оси  y , то есть, если

v y  c

( v x  0 , v z  0 ), то

 

V 2

v x  V ,

 

2          2

v y   c

 

2

1          ,

c 2

v z   0 .

Следовательно, v 

v x   v y  v z  

c2  v 2  v 2

 c .

 

Одним из важных фундаментальных результатов СТО явился отказ от представ- лений об абсолютности времени и пространства. Промежуток времени между собы- тиями и одновременность событий, а также размеры тел оказались зависящими от сис- темы отсчета. Два события, одновременные с точки зрения одного наблюдателя, не обязательно должны быть одновременными с точки зрения наблюдателя, находящегося в другой системе отсчета. Естественно, что оба наблюдателя будут правы, так как од- новременность событий – понятие относительное.

 

Рассмотрим два основных релятивистских эффекта – эффект замедления време-

ни и эффект сокращения длины.