Название: Механика. Электричество. Часть 1 - курс лекций (А. Б. Климовский)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1312


Тема: законы сохранения в механике

 

Вопросы:

1. Механическая работа. Мощность.

2. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии.

3. Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия.

4. Теорема об изменении полной механической энергии.

5. Закон сохранения полной механической энергии.

6. Закон сохранения импульса системы материальных точек.

7. Закон сохранения проекции импульса системы материальных точек.

8. Столкновение. Общий случай. Виды столкновений.

9. Лобовой или центральный абсолютно упругий удар двух тел.

10. Лобовой абсолютно неупругий  удар двух тел.

 

При решении задач в механике наряду с «силовым подходом», основанным на за- конах Ньютона, применяют «энергетический подход», использующий законы измене- ния энергии. В предыдущей теме мы познакомились с первым подходом, в этой теме рассмотрим второй и получим фундаментальные законы сохранения механической энергии и импульса. Мы продолжаем рассматривать только поступательное движение.

Если на тело действует сила  F , и точка приложения силы перемещается, то

эта сила совершает  механическую работу  A .

Если  сила  постоянна,  а  движение  прямолинейно,  то работа равна скалярному

произведению силы F

на приращение радиус-вектора точки приложения силы r

FD

 
A  Fr cos    r .

 

Здесь мы использовали символическую запись скаляр- ного произведения векторов, которое по определению равно произведению длин векторов на косинус угла между ними

 

F

         r

ab  ab cos .            

В зависимости от угла  между направлением силы F

 

и перемещением

r , ра-

бота может быть положительной ( A  0 ), при

  90  или равной нулю ( A  0 ) при   90 .

  90 , отрицательной ( A  0 ) при

 

Если тело, к которому приложена сила, описывается моделью материальной точ- ки или движется поступательно, но при этом движение не прямолинейно или/и сила не постоянна, то для нахождения работы силы траекторию поступательного движения те-

ла необходимо разделить на участки, в пределах которых

Fi

 
силу можно считать постоянной, а сами участки – прямоли-     

нейными. Работа  A будет приблизительно равна сумме ра-      

                  i

бот

Ai   Fi ri cosi   Fi ri ,  совершенных  на  каждом

                  

участке,

A   Ai    Fi ri . Равенство будет приблизи-

ri

тельным,  потому что  сумма будет  зависеть  от  разбиения траектории на участки.

Для  достижения  точного  равенства  нужно  количество  участков  устремить  к бесконечности, а их длину к нулю. При этом в сумме заменим конечные величины

 

 

         бесконечно малыми:

 

 

ri   dr ,

 

 

Ai   A ,

 

F

 

Fi

 
    ,  и

F

1                   2

рассмотрим   предел   суммы,   который   по   определению является интегралом. То есть работа равна

dr

A12 

(2)

 A 

(1)

(2)   

 Fdr .

(1)

 

Это определение  м е х а н и ч е с к о й  р а б о т ы в общем случае. По определению

 

работа является скалярной величиной. Величина

работой.

A  Fdr

 

называется элементарной

 

Для характеристики работы, совершаемой в единицу времени, в механике исполь- зуют понятие мощности. М о щ н о с т ь ю  (мгновенной мощностью) называется ска-

лярная величина, равная отношению элементарной работы

A к бесконечно малому

промежутку времени dt , в течение которого эта работа совершается

A       r

 dr   

P                    Fd dt                        dt

 

 F       Fv ,

dt

где v

– скорость точки приложения силы.

В общем случае мощность может изменяться с течением времени.

С р е д н я я  за промежуток времени  t  м о щ н о с т ь  равна отношению работы

A , совершенной за этот промежуток времени, к времени  t

 

A P   .

t           

Если на материальную точку действует несколько сил, и в качестве  F

зультирующая сил, то работа  A будет работой всех сил.

взята ре-

v

 
                  md 

Поскольку в этом случае по второму закону Ньютона

F  ma 

, то

dt

      V2             V2

  2           V2

  2  2          2          2

mdv

A               dr 

 mvdv 

 md 

   md 

  mv

V2    mv 2

 mv1  .

v

 

v

 
всех сил

dt         V1

v

 

                           

2

 

2

 
V1                         V1                

2          V1       2          2

 

Мы учли, что

dr   ,

dt

 2      2

=

 
v          v  . Таким образом, мы получили

mv 2

A      2

2

mv 2

            1  .

2

 

Индекс у работы мы опустили, и будем опускать далее, имея в виду, что  A – ра- бота всех сил, если специально не оговорено, работу какой силы мы рассматриваем.

mv 2

Полученное выражение

 

т е р и а л ь н о й  т о ч к и

называется  к и н е т и ч е с к о й   э н е р г и е й   м а-

2

 

mv 2

Eкин             2          .

 

Кинетической энергией обладают все движущиеся тела.

К и н е т и ч е с к а я  э н е р г и я  м е х а н и ч е с к о й  с и с т е м ы  равна сумме ки- нетических энергий всех частей системы. Например, для системы, состоящей из n ма- териальных точек, она равна

n   mv 2

Eкин

      i   ,

i 1     2

где mi

и v i

– масса и скорость i -й материальной точки системы.

 

Если абсолютно твердое тело массой  m движется поступательно со скоростью

v ,  то,  сложив кинетические энергии  всех  точек  тела,  получим  к и н е т и ч е с к у ю

э н е р г и ю  п о с т у п а т е л ь н о г о  д в и ж е н и я  а б с о л ю т н о  т в е р д о г о  т е л а

mv 2

Eкин             2          .

 

При вычислении работы всех сил, действующих на материальную точку, мы до- казали    т е о р е м у   о б   и з м е н е н и и   к и н е т и ч е с к о й   э н е р г и и   м а т е р и- а л ь н о й  т о ч к и    –  приращение кинетической энергии материальной точки равно работе всех сил, действующих на тело,

 

Eкин   Eкин2

 

 Eкин1

 

 A .

 

При доказательстве теоремы об изменении кинетической энергии для абсолютно твердого тела массой  m нужно воспользоваться основным уравнением динамики по-

         

ступательного движения

ma  Fвнеш ,  тогда  мы  получим  т е о р е м у   о б   и з м е н е-

н и и   к и н е т и ч е с к о й   э н е р г и и   п о с т у п а т е л ь н о г о   д в и ж е н и я   а б с о- л ю т н о  т в е р д о г о  т е л а  –  приращение кинетической энергии абсолютно твердо- го тела равно работе всех внешних сил

 

Eкин   Eкин2

 

 Eкин1

 

 Aвнеш .

 

Такой же результат мы получим, если вычислим работу всех сил. Для абсолютно твердого тела изменение кинетической энергии равно суммарной работе всех сил – внутренних и внешних. Но работа внутренних сил равна нулю

n          n       

                           

                  

Aвнутр

   Fik dri   ...  (F jl drj

i 1 k 1

 Flj drl )  ...  ...  F jl (drj

 drl )  ... 

                  

                                    

 ...  Fjl (drj   drl )  ...  ...  Fjl d (rj   rl )  ...  ...  Fjl drjl   ...  0,

поскольку расстояние между материальными точками абсолютно твердого тела не из- меняется drjl   0 .

Действующие на тело силы можно разделить на два типа:

 

1) Консервативные силы (например, силы тяжести, упругости).

С и л а  называется к о н с е р в а т и в н о й , если она зависит только от положе-

         

 

ния тела, на которое действует

F  F (r) , и производимая ею работа при перемеще-

нии тела зависит только от начального и конечного положения тела, и, следователь- но, не зависит от формы траектории.

 

 

c

1

A12

b          1          2

a          A21   A12

2

 

Если действуют только консервативные силы, то

A1a2   A1b2   A1c2 .

Работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю.

 

2) Диссипативные силы  (например, силы трения, сопротивления)

С и л а  называется д и с с и п а т и в н о й  ( н е к о н с е р в а т и в н о й ) , если произ- водимая ею работа при перемещении тела зависит от траектории.

           

Диссипативные силы зависят от скорости тела, на которое действуют,

F  F (v ) ,

причем направлены, как правило, противоположно скорости. Работа диссипативных

сил отрицательна

A  0

( cos  0 ). Поскольку работа связана с кинетической энер-

гией соотношением

A  E

кин2    Eкин1

,   то работа диссипативных сил всегда умень-

шает кинетическую энергию.

 

Консервативные силы обладают свойством, благодаря которому их и выделили из всех сил. Для поля консервативных сил можно внести   п о т е н ц и а л ь н у ю   э н е р-

г и ю  тела

Eпот

так, что разность потенциальной энергии между начальным и конеч-

ным положениями тела  равна работе консервативных сил при перемещении тела из начального положения в конечное

 

Aконс   Eпот1

 

 Eпот2  .

 

Введенная таким образом потенциальная энергия, зависит только от положения тела (взаимного расположения тел и его частей).

По  определению  потенциальной  энергии

Eпот2

 Eпот1

 Аконс .  Начальное

положение часто выбирают так, чтобы потенциальная энергия тела была равна нулю,

Eпот1

 0 . Тогда потенциальная энергия тела в некоторой точке  поля консервативных

сил будет равна работе консервативных сил при перемещении тела из этого положения в положение, где потенциальная энергия равна нулю.

Используя определение работы, можем записать

 

(2) 

Eпот

   Fконс dr .

(1)

Для силы тяжести (она консервативна) при подъеме тела на высоту h с нулевой высоты изменение потенциальной энергии равно

 

Eпот  Eпот2

 

 Eпот1

h

  mg (dh)  mgh .

0

Если    на        нулевой          высоте            потенциальная          энергия           равна  нулю,

Eпот1

 Eпот (0)  0 , то

Eпот2

 Eпот (h)  mgh

– есть потенциальная энергия тела

на высоте h .

 

Посмотрим, что дает введение потенциальной энергии. Запишем теорему об из- менении кинетической энергии механической системы

Eкин2

 Eкин1

 A  Aконс

 Aдисс

 Eпот1   

Eпот2

 Aдисс .

Вычислив отдельно работу диссипативных и консервативных сил, действующих на систему, получим, что работа диссипативных сил равна изменению суммы потенци- альной и кинетической энергии

Aдисс

 (Eкин2

 Eпот2

)  (E

 

кин1

 Eпот1 ) .

 

Суммарная кинетическая и потенциальная энергия

п о л н о й  м е х а н и ч е с к о й  э н е р г и е й .

Е  Eкин  Eпот

называется

 

Изменение полной механической энергии равно работе диссипативных сил

Е  Адисс  .

Если диссипативных сил нет, то есть ная механическая энергия сохраняется

Адисс

 0 , то

E  0 , следовательно,  пол-

E  Eкин   Eпот

 

 const ,

 

при Адисс

 0 .

 

Мы  получили  з а к о н   с о х р а н е н и я   п о л н о й   м е х а н и ч е с к о й   э н е р- г и и  (ЗСЭ) – частный случай фундаментального закона физики – закона сохранения энергии. Полная механическая энергия тела либо системы тел сохраняется, если ра- бота диссипативных сил, действующих на тело,  равна нулю.

Предполагается, что потенциальные поля стационарны, то есть не изменяются с течением времени сами по себе, они могут изменяться со временем только при измене- нии положения рассматриваемой системы.

Системы, в которых выполняется закон сохранения полной механической энер- гии, называются консервативными системами – действующие на нее диссипативные силы работы не совершают, а внешние потенциальные силы стационарны.

 

Если механическая система не взаимодействует с внешними телами, она назы- вается замкнутой системой. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса. В отличие от законов Ньютона закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике – это, как и закон сохранения энергии, один из фунда- ментальных законов физики.

Для механических систем, которые мы рассматриваем в классической механике, закон сохранения импульса можно получить из законов Ньютона. Запишем основной закон динамики для поступательного движения

         

ma  Fвнеш .

         

Поскольку по определению ускорения центра масс

ma  m dV

dt

 d P ,  то

dt

d          n       

(  pi )  Fвнеш ,

dt  n 1

так как импульс системы равен сумме импульсов материальных точек, входящих в сис-

         n

 

тему,

P   pi  .

i 1

 

Отсюда следует  з а к о н  с о х р а н е н и я  и м п у л ь с а (ЗСИ) для системы мате- риальных точек.

Если на систему не действуют внешние силы (система замкнута), или сумма внешних сил равна нулю, то суммарный импульс системы будет сохраняться.

 

         n   

То есть,   если

Fвнеш

 0 , то  pi  const .

i 1

                  

Поскольку импульс системы

P  mV , где  m  – масса системы, V

– скорость

центра масс системы, то из закона сохранения импульса следует, что при любых про-

цессах в замкнутой системе скорость центра масс не меняется.

 

 

ным

 

Заметим, что одно векторное равенство

dP        

=

 
dt         Fвнеш

 

эквивалентно трем скаляр-

dPx

dt

 

 Fx внеш ,

dPy

dt

 

 Fy внеш ,

dPz

dt

 

 Fz внеш .

 

Если

 

Fx внеш

 

 Fy внеш

 

 Fz внеш

 

 0 , закон сохранения импульса выполняется.

Если хоть одна из проекций не равна нулю, то закон сохранения  импульса выполнять-

ся не будет. Но, если проекция суммарной внешней силы на некоторую ось будет равна

нулю,  то  будет  выполняться  з а к о н      с о х р а н е н и я        п р о е к ц и и и м п у л ь с а

(ЗСПИ) на эту ось.

 

Например,   если

 

Fx внеш

 

 0 ,   то

n

Px   pix  const

i 1

 

–   закон          сохранения

проекции импульса системы на ось OX . Например, если на систему действует только сила тяжести, то горизонтальная составляющая импульса будет сохраняться.

Подчеркнем еще раз, что хотя закон сохранения импульса (проекции импульса) в данном случае мы получили из второго закона Ньютона, он имеет более общий харак- тер, чем законы Ньютона. В микромире атомов второй закон Ньютона не выполняется, а великие законы сохранения, к которым относится закон сохранения импульса (проек- ции импульса), продолжают выполняться.

 

Рассмотрим выполнение законов сохранения импульса и энергии на примере столкновения двух тел.

С т о л к н о в е н и е м         ( у д а р о м )  двух  тел  будем  называть  кратковременное взаимодействие тел, которые, двигаясь навстречу друг другу, первоначально не взаи- модействовали, но скорости их были направлены так,

чтобы взаимодействие произошло.

m

 
m1

2

V1       

V2

 

При соударениях между телами возникают внутренние по отношению к системе, состоящей из соударяющихся тел, силы, которые, как правило, на- столько большие, что превышают все постоянно дей- ствующие на части системы внешние силы.

Эти  внутренние  силы  изменяют  импульс  частей  системы,  но  импульс  всей системы соударяющихся  тел  изменить  не могут,  поскольку являются  внутренними.

         

Изменение импульса внешними силами

P  Fвнеш 

мало, в силу малости времени

 

столкновения  .       Поэтому          изменением   импульса        системы          можно пренебречь. Следовательно, при столкновениях можно пользоваться законом сохранения импульса.

Л о б о в ы м  и л и  ц е н т р а л ь н ы м  у д а р о м  называется удар, при котором скорости тел направлены по прямой, соединяющей центры тел.

А б с о л ю т н о  у п р у г и м  у д а р о м  называется удар, при котором суммарная кинетическая энергия тел до и после удара одинакова. Для этого удара энергия систе- мы тел сохраняется – выполняется закон сохранения энергии.

А б с о л ю т н о  н е у п р у г и й  у д а р  – столкновение, после которого тела дви- жутся как одно целое.

 

Рассмотрим лобовой абсолютно упругий удар (АУУ).

 

                   /        /

m1V1  m2V2   m1V1

 m2V2

– ЗСИ  m1       m2

m V 2

m V 2

m V / 2

m V / 2

    1  1         2   2          1  1          2   2         

– ЗСЭ           

2          2          2          2

V1       V2

 

 

Определим скорости тел после удара

V / ,V

/ . Сначала соберем характеристики

1          2

одного тела с одной стороны от знака равенства

          /                 /

1V1

 
m1V1  m1V1

 m2V2   m2V2  ,

m       2

 

2V2

 

2V2

 

1V1

Затем вынесем массы за скобки

 m  / 2

 m  / 2

 m  2 .

          /

 /       

m1(V1  V1 )  m2 (V2

 V2 ) ,

          /                 /

          /        /       

m1(V1  V1 )(V1  V1 )  m2 (V2  V2 )(V2

 V2 ) .

Далее разделим второе уравнение на первое, и результат запишем вместо второго урав- нения

          /

 /       

m1(V1  V1 )  m2 (V2

 V2 ) ,

          /

 /       

V1  V1

 V2

 V2  .

 

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Разде- лим первое уравнение на m1

          /        m         /       

V1  V1

         2 (V2

m1

 V2 ) ,

          /                 /

V1  V1

 V2  V2 .

1

 
Сложим уравнения (при этом исключится V / ) и получим:

                  

V  m2 V /  V /  m2   

  .

m

 

2

 

m

 
2 1       2

1

V2       V2

1

 /       

Умножим на

m1 , получим

2m1V1  (m2  m1)V2

 (m2  m1)V2 , перенесем известные

и неизвестные величины по разные стороны от знака равенства,  разделим на и получим скорость 2-го шара после соударения

m1  m2

 

                  

2

 
V /  2m1V1  (m2  m1)V2 .

 

 

 

1

 
Для  нахождения  скорости  V /

m1  m2

 

первого  шара  можно  проделать  ту  же  работу

2

 
(исключив V / ) или просто поменять местами индексы

1  2,

2  1, поскольку ис-

ходные уравнения симметричны относительно перестановки индексов. В любом случае получим скорость1-го шара после соударения

                  

1

 
V /  2m2V2  (m1  m2 )V1 .

m1  m2

 

Мы нашли скорости шаров после абсолютно упругого удара.

 

Рассмотрим теперь лобовой абсолютно неупругий удар (АНУ).

Закон сохранения энергии в этом случае не выполняется. По определению удара

                                    

скорости после соударения одинаковы V /  V / . Обозначим

V /  V /  V / . Тогда за-

1          2          1          2

кон сохранения импульса будет иметь следующий вид:

                  

m1V1  m2V2  (m1  m2 )V / .

Из него находим скорость тел после столкновения

                  

V /  m1V1  m2V2 .

m1  m2

В полученном выражении слева стоит скорость центра масс после столкновения, а справа скорость центра масс до столкновения.

 

m         2

 
Выделившееся при деформации тел при ударе тепло равно разности кинетической энергии системы

m        2

 

Q      1V1

2

            2V2

2

 (m1  m2 )  / 2

V    .

 
2

m m               

Подставив выражение для

V / ,  получим

Q      1    2    (V1  V2 ) 2 .

2(m1  m2 )