Название: Механика. Электричество. Часть 1 - курс лекций (А. Б. Климовский)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1313


Тема: динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

 

Вопросы:

1.   Законы динамики материальной точки. Понятие о взаимодействии.

2.   Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета.

3.   Инертная масса. Второй закон Ньютона. Импульс.

4.   Третий закон Ньютона.

5.   Система материальных точек. Центр масс.

6.   Основное уравнение динамики поступательного движения.

7.   Закон всемирного тяготения. Гравитационная масса. Сила тяжести. Вес.

Невесомость.

 

В предыдущей теме мы научились описывать движение. В этой теме мы перейдем к изучению и описанию причин, определяющих характер движения, то есть к динами-

ке. Начнем мы, как обычно, с самого простого – с динамики материальной точки. Далее перейдем к системе материальных точек, затем к модели абсолютно твердого те- ла и рассмотрим динамику поступательного движения твердого тела.

 

Д и н а м и к о й  называют раздел механики, который изучает движение тел, ис- ходя из причин, влияющих на характер движения. В динамике ставится вопрос: «Какое будет движение и почему именно такое?».

Причиной, определяющей характер движения и его изменение, является взаи- модействие тел.

 

Взаимодействие может осуществляться как

         полевое взаимодействие (между удаленными объектами, например, гравитационное);

         контактное взаимодействие (при непосредственном контакте тел, например, трение).

Полевое взаимодействие обусловлено способностью тел изменять свойства окру- жающего пространства. Изменение свойств выражается в том, что на удаленные тела действует сила. Принято говорить, что тело создает вокруг себя п о л е , которое дейст- вует на другие тела. Реально любое взаимодействие является полевым, но некоторые взаимодействия становятся значительными только при сильном сближении (при кон- такте), в этом случае удобно пользоваться представлениями о контактном взаимодей- ствии.

 

По природе все взаимодействия принято делить на четыре типа:

         гравитационное,

         слабое,

         электромагнитное,

         сильное.

 

Одной из важных задач, решить которую пытаются физики-теоретики, является создание единой теории, объединяющей все взаимодействия, существующие в природе, в одно. На этом пути достигнуты определенные успехи. С прошлого века мы пользуем- ся единой теорией электромагнетизма, тогда как первоначально электрические и маг- нитные взаимодействия рассматривались как имеющие разную природу. В начале 60-х годов нашего века была разработана электрослабая теория, объединившая слабое и электромагнитное взаимодействия, рассматриваемые в ней как два разных проявления

 

одного более фундаментального электрослабого взаимодействия. Несмотря на успехи электрослабой теории и ряда других теорий, единой теории поля в настоящее время не существует. Мы по традиции будем говорить о четырех типах взаимодействия.

О слабом и сильном взаимодействии мы будем говорить в последней, третьей, части нашего курса, поскольку их влияние существенно лишь на расстояниях порядка размера ядра – в микромире. В макромире, который нас окружает, существенными яв- ляются только гравитационное и электромагнитное взаимодействия, которые мы и бу- дем рассматривать в первых двух частях курса физики.

Для характеристики взаимодействия используют понятие с и л ы  F , которая яв-

ляется количественной мерой воздействия на тело других тел или полей. Сила F

– ве-

личина векторная. Сила полностью определена, если заданы ее величина  F , направ-

 

ление и точка приложения.

Опыт показывает, что все известные виды взаимодействия характеризуются дей- ствующими на тела силами, зависящими от величин, определяющих состояние тел

             

F  F (r ,v ) .

 

         Если    на        материальную            точку   одновременно           действуют      несколько       сил

         

F1 , …,

Fn , то их действие эквивалентно действию одной силы  F , равной векторной

сумме всех действующих сил

 

         n   

F   Fi .

i 1

При поступательном движении абсолютно твердого тела действие силы не изме-

нится при переносе точки приложения силы в пределах тела.

 

В основе динамики лежат з а к о н ы  д и н а м и к и  – система трех взаимосвя- занных законов Ньютона, сформулированных им в 1687 году.

 

ПЕРВЫЙ  ЗАКОН НЬЮТОНА: Существуют такие системы отсчета, от- носительно которых материальная точка будет двигаться прямолинейно и равномер- но или находиться в состоянии покоя, если на нее не действуют силы, или сумма дей- ствующих сил равна нулю.

 

Любое тело препятствует изменению своего движения – такая способность назы- вается инерционностью, и первый закон Ньютона, утверждающий это, часто называют законом инерции.

Почему утверждение первого закона Ньютона о движении тел в отсутствии сил не согласуется с жизненным опытом? Почему опыт подсказывает, что для поддержания движения требуется сила? Дело в том, что в первом законе Ньютона речь идет о сво- бодных телах, на которые не действуют никакие силы, а в окружающей реальности все- гда есть взаимодействия. Абсолютно свободных тел в природе не существует.

Первый закон Ньютона определяет и утверждает существование систем отсче- та, называемых   и н е р ц и а л ь н ы м и  с и с т е м а м и  о т с ч е т а  (ИСО), в которых первый закон Ньютона выполняется по определению.

Инерциальной будет любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равно- мерно относительно другой ИСО.

 

ИСО – идеальная модель. Можно ли реальную систему отсчета считать в данной задаче инерциальной, определяется условиями задачи. Например, если в некоторой произвольной системе отсчета непрямолинейностью и неравномерностью движения свободного тела, на которое не действуют силы, в задаче можно пренебречь, то систему отсчета, относительно которой описывается движение, можно считать инерциальной.

Как мы отмечали, абсолютно свободных тел не существует. Хорошим приближе- нием свободных тел являются звезды, которые находятся настолько далеко друг от друга, что действующие на них силы пренебрежимо малы. Если рассмотреть их движе- ние в системе отсчета, связанной с Землей, то траекториями будут петлеобразные замкнутые линии, а не прямые. Следовательно, как мы видим, первый закон Ньютона не выполняется в связанной с Землей системе отсчета, значит, она, строго говоря, не является инерциальной. Тем не менее во многих часто встречающихся задачах влияние неинерциальности Земли не велико, и систему отсчета, связанную с Землей, в этих за- дачах можно считать инерциальной. С гораздо большей степенью приближения инер- циальной системой является гелиоцентрическая система отсчета, связанная с Солнцем (одной из звезд), с осями, направленными на звезды.

 

Не случайно первый закон Ньютона является первым, то есть основным, самым важным. Для этого есть две взаимосвязанные причины.

Во-первых, первый закон определяет условия, в которых выполняются остальные законы динамики. Действительно, в неинерциальных системах ни второй, ни третий за- коны Ньютона выполняться не будут.

Во-вторых, первый закон устанавливает принципиальную связь между силой и движением, имеющую фундаментальный характер и заключающуюся в том, что для движения тела не требуется никакая сила, никакая причина. Тело будет двигаться рав- номерно и прямолинейно сколь угодно долго, именно при отсутствии действующих на него сил. Причина, которой является взаимодействие, необходима для изменения дви- жения. Этот взгляд был впервые сформулирован Г. Галилеем, которому И. Ньютон вы- ражает признательность в своем основополагающем труде «Математические начала на- туральной философии». Позиция Галилея на первый взгляд противоречит здравому смыслу, и она принципиально расходилась с господствующей к тому времени около

2000 лет позицией Аристотеля (Aristoteles, 384–332 до н. э.). С точки зрения Аристоте- ля для поддержания движения с постоянной скоростью необходима постоянная сила, причем он доказал, что чем больше сила, тем больше скорость. В сущности, взгляд Аристотеля не является ошибочным, он согласуется с жизненным опытом. Различие позиций Галилея и Аристотеля в том, что первый учитывал трение как обычную силу, а второй совсем не рассматривал трение, относя его к «естественному состоянию», при этом дальнейшее познание становилось невозможным. Напротив, анализ Галилея мог быть расширен для объяснения гораздо большего числа явлений, и поэтому именно он стал фундаментом, на котором Ньютон возвел свою великую теорию движения, по пра- ву считающуюся началом физики.

 

Важным законом динамики материальной точки является второй закон Ньюто-

на, который указывает, как меняется движение тел под действием приложенных к нему сил.

         ВТОРОЙ  ЗАКОН НЬЮТОНА: Если на материальную точку действует сила

F , то материальная точка движется с ускорением            a ,   которое совпадает по  на-

правлению с силой F

и по величине прямо пропорционально величине силы F ,

         

a ~ F .

 

Коэффициент пропорциональности зависит от инертных свойств тела. Для описа- ния инертных свойств ввели понятие инертной массы или просто массы m . М а с с а есть количественная мера инертности тела. Чем больше масса тела, тем труднее из- менить характер его движения, то есть тем труднее заставить двигаться покоящееся те- ло, остановить движущееся или изменить направление его движения.

С учетом  массы второй закон Ньютона можно записать

                  

a  F

m

 

или

 

 

ma  F .

 

         dv

         dv

d (mv )

Поскольку

a       , то

dt

ma  m dt 

, мы учли, что в нерелятивистской

dt

механике m  const , и внесли массу под знак производной.

 

Физическая величина

mv , стоящая под знаком производной, играет важную роль

в физике, и поэтому имеет самостоятельный физический смысл. Она называется и м-

         

п у л ь с о м  м а т е р и а л ь н о й  т о ч к и

p  mv . Таким же выражением определяет-

ся импульс твердого тела при поступательном движении. Используя импульс, запишем второй закон в более общем виде, который и был получен И. Ньютоном.

         

 

О б щ и й  в и д  в т о р о г о  з а к о н а  Н ь ю т о н а :

dp  F .

dt

 

Исходя из этого выражения, скорость изменения импульса материальной точки

равна силе, действующей на материальную точку.           

Если на материальную точку действует несколько сил, то  F

является результи-

рующей сил. Второй закон Ньютона, как все законы Ньютона, справедлив только в

ИСО.

 

Вернемся к понятию массы. Для измерения массы тел необходим эталон. Любая неизвестная масса может быть найдена сравнительно с эталоном на основании второго закона Ньютона.  Посмотрим, как можно найти массу тел, пользуясь вторым законом

Ньютона.        

Если на два тела действует одна и та же равнодействующая сил F , которая уско- ряет их, то отношение масс тел можно найти по обратному отношению их ускорений,

сообщаемых телам силой F ,

m1   a2  .

m2       a1

Если известна одна из масс (это может быть эталонный килограмм) и оба ускоре- ния, то вторая масса будет равна

 

a

 
m          m     1  .

a

 
2          1

2

 

Второй закон Ньютона количественно описывает то, как силы влияют на движе- ние. Силы же возникают в результате взаимодействия тел, при котором тела действуют друг на друга парными силами. В этом состоит содержание третьего закона Ньютона.

 

ТРЕТИЙ          ЗАКОН           НЬЮТОНА:    Если    со        стороны          i -й       точки  на

k -ю действует сила

Fki , то со стороны k -й точки на i -ю будет действовать сила

противодействия

Fik , равная по величине и противоположная по направлению

Fki

= -      .

 
Fik

Силы действия и противодействия

Fki

и Fik

всегда одной природы.

 

Заметим, что силы

Fki

и Fik

 

приложены к разным материальным точкам, поэто-

му, вообще говоря, они не могут компенсировать друг друга.

Если эти материальные точки принадлежат одному и тому же телу, то тогда

 

силы

Fki

и  Fik

 

являются в н у т р е н н и м и  с и л а м и. При нахождении суммарной

силы, действующей на тело, их можно складывать, и их суммарный вклад будет равен

нулю.

Если эти материальные точки принадлежат разным телам, то тогда силы

Fki

и Fik

 

являются в н е ш н и м и  для этих тел с и л а м и . В этом случае, как и для мате-

риальных точек, эти силы складывать нельзя.

Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики материальной точки к ди- намике системы материальных точек, то есть к динамике поступательного движения твердого тела.

 

До сих пор мы рассматривали материальную точку. Перейдем к рассмотрению более сложной модели – к произвольной механической системе –   с и с т е м е   м а т е-

р и а л ь н ы х  т о ч е к  – совокупности n материальных точек

сматриваемых как единое целое.

m1 ,

m2 ,…,

m n ,  рас-

Запишем второй закон Ньютона для всех n материальных точек системы

                                    

m1a1  F12   F13  ...  F1n   F1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                                    

mn an

 Fn1  Fn2   ... Fn,n1  Fn .

Здесь

Fij

– внутренние силы, действующие на i -ю точку со стороны  j -й точки, Fi  –

суммарная внешняя сила, действующая на i -ю точку.

Сложим все уравнения

 

n                                              

 

                  n

 mi ai

i 1

 (F12  F21 )  (F13  F31 )  ...  (Fkl

 Flk )  ...   Fi ,

i  n

n   

последнее слагаемое  Fi

является суммой всех внешних сил.

i 1

По       третьему         закону Ньютона

Fki

 
         

Fik

    , следовательно,          каждая            скобка

(Fik   Fki ) равна нулю. Тогда получаем

n                

 mi ai  Fвнеш ,

i 1

 

         n   

где

Fвнеш

  Fi

i 1

– суммарная внешняя сила, действующая на всю систему.

Введем некоторую абстрактную точку с радиус-вектором

                  

=

 

c

 
R          m1r1  ...  mn rn  ,

m1  ...  mn

которую назовем   ц е н т р о м  м а с с  с и с т е м ы  и, соответственно,

Rc – р а д и у с -

в е к т о р о м  ц е н т р а  м а с с . В частности, для материальных точек одинаковой мас-

                  

 

сы (mi   m) получим

 

Rc  

 

m1

r1  ... rn .

n

 

 
m2

r

 

         2

1                                                                                           m

 
r           C         m3

 

 
mn        4

r

 

r

 

3

 
……    Rc                 4

r

 

n

 

O

Обозначим массу всей системы

m  m1  m2    mn

, тогда

 

         n          

mRc    mi ri .

n 1

 

d

 

d

 

n

 

R

 
Продифференцируем это выражение по времени, учитывая, что массы постоянны,

R

 
d (m   )

                  n          dr

c           m dt

c        mi ri

dt

 
dt         n 1

  mi             i  .

n 1    dt

 

 

Так как

dr

i

 
dt

 

v

 
 i

 

 

– скорость i -й точки, а вводя

d

 

 
V      Rc

dt

 

 

– скорость центра масс, мы

получаем

 

         n                   

mV   miv i

                  n 1   

 

или

P   pi ,

где

pi   miv i

– импульс i -й точки, а

P  mV

– импульс системы, равный суммар-

ному импульсу всех точек системы.

Полученное выражение еще раз продифференцируем по времени, учитывая, что

v

 
d i

dt

 

i

 
 a ,  и вводя

d

 
V  a

dt

 

 

–  ускорение центра масс, тогда

         n     

ma   mi ai .

n 1

 

n                

Поскольку

 mi ai

in

 Fвнеш , то мы получаем второй закон Ньютона для сис-

темы материальных точек – о с н о в н о й  з а к о н  д и н а м и к и  п о с т у п а т е л ь- н о г о  д в и ж е н и я  – произведение массы системы на ускорение центра масс равно суммарной внешней силе

         

ma  Fвнеш .

 

Или, по аналогии со вторым законом Ньютона для одной материальной точки, ус- корение центра масс системы прямо пропорционально суммарной внешней силе, дей- ствующей на систему, и обратно пропорционально суммарной массе всех точек сис- темы

a  Fвнеш   .

m

 

Второй закон Ньютона для системы материальных точек имеет такой же вид, как второй закон Ньютона для одной материальной точки. Только вместо массы точки нужно брать суммарную массу системы, вместо суммарной силы – суммарную внеш- нюю силу. Также вместо импульса точки необходимо использовать суммарный им- пульс всех точек. Вместо радиус-вектора материальной точки – радиус-вектор центра масс системы материальных точек.

 

В качестве системы материальных точек может быть выбрано абсолютно твердое тело. Все введенные величины и полученные для системы законы могут быть исполь- зованы  для  абсолютно  твердого  тела,  но  только  при  поступательном  движении.

Поскольку, если тело движется поступательно, то все точки тела движутся так же, как

 

центр масс

ai

 a , тогда полученный закон описывает движение всех точек, а значит,

движение всего тела.

Если тело еще и вращается, то полученный закон описывает только движение центра масс, с которым можно связать поступательное движение всего тела. Произ- вольное движение тела можно представить как совокупность поступательного движения, связанного с движением центра масс, подчиняющегося основному закону поступательного движения, и вращательного движения вокруг центра масс. Осо- бенности вращательного движения мы рассмотрим, когда будем изучать механику твердого тела.

 

Кроме трех основных законов динамики, Ньютон установил закон всемирного тя- готения, изучая движение небесных тел.