Название: Механика. Электричество. Часть 1 - курс лекций (А. Б. Климовский)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1313


Тема: электрический ток

 

Вопросы:

1.         Электрический ток. Характеристики электрического тока.

2.   Электродвижущая сила (ЭДС).

3.   Закон Ома для однородного участка цепи. Электрическое сопротивление.

4.   Закон Ома для неоднородного участка цепи. Обобщенный закон Ома. Закон Ома для замкнутой цепи.

5.   Тепловое действие тока. Закон Джоуля–Ленца.

6.   Разветвленные цепи, правила Кирхгофа.

 

В предыдущей теме мы рассмотрели взаимодействие и свойства систем непод- вижных зарядов. Перед тем как перейти к взаимодействию движущихся зарядов, нужно научиться описывать их движение, чему посвящена данная тема.

 

Э л е к т р и ч е с к и м  т о к о м  называется упорядоченное движение зарядов. Ток характеризуется направлением тока и силой тока I .

Н а п р а в л е н и е  т о к а  совпадает с направлением движения положительных

зарядов.

С и л а  т о к а  равна величине заряда, прошедшего в единицу времени через попе- речное сечение проводника

I  dQ .

dt

 

Электрический ток называется  п о с т о я н н ы м  э л е к т р и ч е с к и м  т о к о м ,

если сила тока не изменяется со временем.

 

Для постоянного тока ( I  const )

I  Q , и в этом случае заряд, прошедший

t

по проводнику за время t , будет равен

Q  It .

Для более детального описания протекания заряда по проводнику вводят п л о т- н о с т ь  т о к а   j ,   равную величине заряда, прошедшего через единицу площади по-

верхности, перпендикулярной направлению тока,

 

j  dI

dS

 

 

 qnv .

 

Здесь dI  – сила тока, прошедшего через dS , q – заряд одного носителя заряда,   n –

концентрация и v – средняя скорость упорядоченного движения носителей заряда.

Если плотность тока одинакова во всех точках сечения проводника ( j  const ),

I

то  j  .

S

Если ввести вектор, по величине равный плотности тока и направленный по дви-

жению положительных зарядов, то мы получим в е к т о р  п л о т н о с т и  т о к а

         

j  qnv .

 

Скорость  упорядоченного  движения  зарядов  пропорциональна  напряженности электрического поля, которое вызывает их движение

 

         

v  E .

 

Коэффициент пропорциональности    называется подвижностью носителя за-

                  

ряда. Тогда

талла.

j  qnE  E . Величина  называется удельной проводимостью ме-

 

Мы знаем, что электростатические поля могут только вызывать перераспределе- ние зарядов в проводнике, которое сопровождается выравниванием потенциала, при котором движение зарядов прекращается. Для постоянного движения зарядов в про- воднике требуются силы не электростатической природы.

Силы, поддерживающие постоянную разность потенциалов и обеспечивающие протекание тока, называются с т о р о н н и м и  с и л а м и . Под действием сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника против сил электростатического поля, вследствие чего на клеммах источника поддерживается постоянная разность по- тенциалов, и при подключении к источнику электрической цепи в ней потечет электри- ческий ток.

Природа сторонних сил может быть различной. В гальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакций, в генераторе – за счет механической энергии вращения ротора генератора и т. п.

Для сторонних сил

         F

F стор

можно ввести напряженность поля сторонних сил

Eстор  

стор

q

. Результирующее поле в проводнике будет суммой электростатическо-

го поля E

и поля сторонних сил

Eстор

                  

E   E  Eстор .

 

Работа сторонних сил по перемещению единичного положительного  заряда на участке цепи (1-2) называется э л е к т р о д в и ж у щ е й  с и л о й  (ЭДС), действующей

на этом участке, и обозначается ε12

ε          (2)     

12   Aстор (един )

 

  Eстор dl ,

(1)

где dl

– вектор, направленный по току, длина которого равна длине бесконечно мало-

го участка цепи.

 

Если участок электрической цепи содержит источник ЭДС, этот участок назы- вается  н е о д н о р о д н ы м  у ч а с т к о м   ц е п и .  Для  неоднородного  участка  цепи полная работа электростатических и сторонних сил по перемещению единичного по- ложительного заряда, называемая н а п р я ж е н и е м , равна

(2)     

(2) 

         (2)   

U  A12(един )

 

(1)

E dl

  Eстор dl

(1)

  Edl

(1)

 ε  1   2

 

или, окончательно,

U  ε  1  2 .

 

Для однородного участка цепи (не содержащего источник ЭДС) напряжение оп- ределяется выражением

 

 

Для замкнутой цепи

 

U  1  2 .

 

1  2 , поскольку работа электростатических сил в замк-

нутом контуре равна нулю, и напряжение равно ЭДС

U  ε , то есть полная работа по

перемещению заряда в замкнутой цепи равна работе сторонних сил.

 

Сила тока на однородном участке цепи связана с приложенным напряжением з а к о н о м  О м а , установленным в 1887 году Г. Омом (G. Ohm, 1787–1854): если под действием сторонних сил на однородном  участке проводника создается напряжение U , то на данном участке проводника протекает ток силой  I , которая пропорцио- нальна приложенному напряжению

 

I  1 U R

 

 

или, как часто записывают,

 

IR  U .

 

Величина R , входящая в закон Ома, называется электрическим сопротивлени- ем участка проводника.

 

Если к однородному участку проводника длины L и поперечного сечения S  при- ложить  напряжение  U ,  оно  создаст  в  проводнике  однородное  электрическое  поле E  U , так как для однородного поля U    EL. Это поле обеспечивает проте-

L

 

кание тока с постоянной плотностью

j  I . Подставив плотность тока и напряжен-

S

ность в выражение

ме, получим

j  σE , которое является законом Ома в дифференциальной фор-

I  σ U

 

или

I  σ S U .

S          L          L

Коэффициент  пропорциональности  (величина  обратная  сопротивлению)  называется

 

п р о в о д и м о с т ь ю

1  σ S .

R          L

Мы получили, что сопротивление R зависит  от природных свойств проводника и от геометрических размеров участка проводника

 

R  1

 

L  ρ L .

σ S       S

 

 

Величина,  обратная  удельной  проводимости

 

ρ  1 ,  называется  у д е л ь н ы м

σ

с о п р о т и в л е н и е м , которое, как и удельная проводимость, зависит только от при- роды проводника и не зависит от его формы и размеров. По определению удельное со- противление материала проводника есть сопротивление участка проводника еди- ничной длины и единичной площади поперечного сечения.

 

 

 

0       t C

 

Для металлов удельное сопротивление растет с температурой. Этому не стоит удивляться, так как с ростом температуры атомы металла движутся быст- рее и больше мешают упорядоченному движению электронов. В широких диапазонах температуры со- противление увеличивается практически линейно

  0 1  t .

 

 

Коэффициент  называется температурным коэффициентом сопротивления. Для разных металлов температурный коэффициент свой, причем значения    зависят от диапазонов температуры, поэтому при использовании табличных значений следует

обращать внимание на интервал температур, для которого справедливо используемое значение.

При низких температурах наблюдается отклонение от линейного закона. Для большинства реальных металлов характерно наличие остаточного сопротивления ост

 

ост

при абсолютном нуле. Это связано с наличием примеси (чужеродных атомов) в кристаллической решетке металла и ее неидеальностью (наличием дефектов кристаллической структуры).

         В          то        же        время  некоторые      металлы

( Al, Pb, Zn ,  их  сплавы  и  другие)  проявляют

вблизи абсолютного нуля при температурах, раз-

T          ных  для  каждого  вещества  ( T  0,14  20 K ),

свойство с в е р х п р о в о д и м о с т и   – их сопротивление становится равным нулю. Сверхпроводимость является макроскопическим квантовым эффектом и объясняется на основе квантовой механики. Физическая модель сверхпроводимости была создана в

1957 году.

 

Для неоднородного участка цепи з а к о н  О м а принимает вид

=

 
I           ε  1   2  .

R

Мы можем записать обобщенный закон Ома в виде

 

I  1 U ,

R

где U  ε  1  2  для неоднородного участка, U  1  2  – для однородного уча-

стка.

 

a          ε          r           b

Рассмотрим замкнутую цепь, содержащую ис- точник ЭДС с внутренним сопротивлением r и под- ключенную к источнику нагрузку сопротивлением R .

Запишем закон Ома для неоднородного участка цепи ab (внутри пунктира)

=                                            ,

 
I           R          I            ε  a  b

r

 

откуда

Ir  ε  a

 b .

 

Запишем закон Ома для однородного участка цепи ba (снаружи пунктира)

 

 

откуда найдем

 

IR  b

 

I

 

 a .

 b

 a ,

R

Тогда

Ir  IR  ε .

 

И мы получаем  з а к о н  О м а  д л я  з а м к н у т о й  ц е п и

            ε         

I        .

r  R

 

 

  εR

Напряжение на клеммах источника будет равно

U ab  IR 

.

r  R

 

При протекании тока (движении заряда) совершается работа. Для этого требуется энергия, поступление которой обеспечивается источником ЭДС.

Энергия, необходимая для переноса заряда

между которыми U , равна

dq  Idt

между точками, напряжение

dW  Udq  IUdt .

 

Мощность, потребляемая от источника ЭДС,

P  dW

dt

 

 IU .

Если проводник неподвижен, вся энергия идет на нагревание проводника. Тогда с учетом закона Ома

t           t           t

2

t U 2 (t)

Q  W   dW   Pdt   IUdt   I

(t)Rdt  

dt .

R

0          0          0          0

Если ток постоянен ( I = const , U = const ), то выделяемое тепло определяется выражением

 

2

 
Q  I 2 Rt  U            t .

R

 

В этом случае тепловая мощность  равна

 

2

P  I 2 R  U             .

R

 

Полученные выражения, описывающие тепловое действие электрического тока, носят  название  з а к о н а            Д ж о у л я – Л е н ц а           (J.  Joule,  1818–1889,  Э. Ленц,  1804–

1865).

 

Если проводник перемещается, то часть энергии будет израсходована на совер- шение работы

A   Pdt  Q .

 

При постоянном токе работа будет равна

A  IUt  I 2 Rt .

При расчете электрических цепей, содержащих разветвленные неоднородные уча- стки, использование закона Ома часто неудобно, так как расчет становится громоздким

 

и сложным. В этих случаях применяют определенные правила расчета – п р а в и л а К и р х г о ф а  (G. Kirchhoff, 1824–1887), являющиеся следствием фундаментальных за- конов физики.

 

1.   П е р в о е  п р а в и л о Кирхгофа – правило узлов.

Суммарная сила входящих в узел токов равна суммарной силе выходящих токов.

 Iвход

  Iвыход

 

или, если считать, как это принято, втекающие токи положительными, а вытекающие

– отрицательными, то полная сумма всех токов равна нулю

 I i

 

 0 .

 

Узлом называется точка электрической цепи, в которой соединены более двух проводников.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда – сколько заряда втекает ежесекундно в узел, столько должно и вытекать – заряд  не мо- жет исчезнуть.

 

2.   В т о р о е  п р а в и л о Кирхгофа – правило контуров.

В замкнутом контуре сумма ЭДС равна сумме падений напряжения на однород- ных участках

 

n          m

εi    I k Rk  .

i 1

k 1

 

Второе правило Кирхгофа является следствием потенциальности электростатиче- ского поля – работа сил электростатического поля  A при перемещении заряда по замк- нутому контуру равна нулю. Эта работа может быть найдена на всех участках цепи, как разность полной работы электростатических и сторонних сил  A и работы сторонних

сил

Aстор . Тогда

 

 

A  Aстор

 

 

 0 .

Если перемещаемый заряд единичный и положительный, то поскольку по опреде-

лению

A(един ) k

 U k

– падение напряжения на k -м участке цепи, а

Aстор (един ) i  εi  –

ЭДС на k -м участке цепи, получим

 

 

n

 εi

i 1

 

 

m

 U k  .

k 1

 

Пользуясь обобщенным законом Ома, можем записать U k

правило Кирхгофа примет вид

 

 I k Rk . Тогда второе

n

 εi

i 1

m

  I k Rk .

k 1

 

В правой части суммирование ведется по всем участкам цепи, содержащим сопро- тивление, в левой – по всем участкам, содержащим ЭДС.

 

Как      пример           использования           правил

Кирхгофа  рассмотрим  цепь,  изображенную

 ε1       R1

на рисунке.

I

 

R

 

+

 
Применим   первое   правило.   Выберем   I1

2          2

ε

 
направление протекания токов, как показано        a          b

на рисунке. В данной схеме два узла a и b .

ε

 

I

 
Первое правило, в записи для         этих  узлов,    2 R

+

 
будет отличаться только знаками токов (ле-          3          3

3

вая и правая части поменяются местами)

I1  I 2  I 3 .

 

 
При использовании второго правила выберем  направление обхода замкнутых контуров, как указано пунктиром.

Тогда при суммировании ЭДС по определению нужно брать ЭДС с плюсом, если при обходе контура первым будет отрицательная клемма (минусовой полюс) источни- ка, а затем положительная клемма (плюсовой полюс), в этом случае ЭДС создает ток, направленный в сторону обхода контура. Если полюса будут встречаться при обходе контура в обратном порядке, то ЭДС нужно брать с минусом, в этом случае ЭДС созда- ет ток, направленный в сторону против обхода контура.

При суммировании падений напряжения на резисторах ток будем брать с плюсом, если его направление совпадает с направлением обхода, и с минусом – в противном случае. Тогда для нашей схемы получим

ε1  ε2  I1R1  I 2 R2 ,

 ε2  ε3  I 2 R2  I3 R3  .

Или оба правила вместе

 

ε1  ε2  I1R1  I 2 R2 ,

 ε2  ε3  I 2 R2  I3 R3 ,

I1  I 2  I 3 .

Если полученная при решении уравнений сила тока в какой-либо ветви цепи по- лучится отрицательной, то это означает, что в данной ветви ток будет протекать в на- правлении, противоположном выбранному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Для простых цепей вместо правил Кирх- гофа можно использовать правила нахождения

 

эквивалентного сопротивления при последо- вательном соединении резисторов      R1

 

n

R   Ri

i 1

 

1

n

= å

i =1

1

R

Ri

 

 
и при параллельном соединении резисторов

 

,

 

которые могут быть получены из закона Ома или правил Кирхгофа.

 

R2

 

R1

 

R2



 

Rn

 



Rn