Название: Механика. Электричество. Часть 1 - курс лекций (А. Б. Климовский)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1324


Тема: электрическое поле в вакууме

 

Вопросы:

1. Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Закон Кулона.

2. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля. Силовые линии. Принцип суперпозиций электростатических полей.

3. Применение принципа суперпозиции. Расчет поля системы точечных зарядов в вакууме.

4. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Электрический потенциал.

Принцип суперпозиции для потенциала.

5. Потенциал электрического поля точечного заряда.

6. Связь вектора напряженности электрического поля с распределением потенциала.

Эквипотенциальные поверхности.

7. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.

8. Применение теоремы Гаусса для нахождения напряженности электрического поля.

9. Электрический диполь. Дипольный момент.

10. Электрическое поле диполя.

11. Диполь во внешнем электрическом поле.

 

Э л е к т р и ч е с к и й  з а р я д  – это скалярная величина, характеризующая спо- собность некоторых тел притягиваться или отталкиваться. Такие тела, обладающие зарядом, называют заряженными. Экспериментально было установлено, что существу- ет два типа зарядов. Один из них назвали положительным, а другой – отрицательным.

Если в некоторой области пространства находятся тела с суммарным зарядом Q ,

то заряд в этой области может измениться только в случае, если заряд будет перенесен через границу области. Если заряд не пересекает границу области, то внутри области заряд изменяться не будет – з а к о н  с о х р а н е н и я  з а р я да .

Заряженное тело, которое может быть представлено материальной точкой,

называют т о ч е ч н ы м  з а р я д о м . Притяжение или отталкивание точечных зарядов

q1  и  q2

описывается  законом  Кулона,  установленным  в  1785  году  Ш. Кулоном

 

(S. Coulomb, 1736–1806). Если заряды одного знака ( q1q2   0 ) – они отталкиваются, если разных знаков ( q1q2  0 ) – притягиваются.

 

q1  0

 

 

F12

 

 

F21

 

q2  0

По третьему закону Ньютона

F12  F21 . Сила взаимодействия направлена по

прямой, соединяющей точечные заряды.

 

Величина кулоновской силы взаимодействия

 

F  F12

 

 F21

 

 

равна

F       1

q1q2  .

2

4 0 r

 

 

-12

 

Кл 2

Здесь   r – расстояние между зарядами,

 

стоянная.

0   8,85 10

 

H  м2

– электрическая по-

В  в е к т о р н о м  в и д е  з а к о н  К у л о н а записывается так:

 

    

 
         1          q1q2  r

F

 

0

 
21  4       r 3

 

12 .

Здесь

F21 – сила, действующая на второй заряд со

r

 

1

 

12

 
стороны первого,  

 r

2

 

 r – разность радиус-

q1  0

r

 

12

q2  0

 

F21

векторов зарядов и r 

r12  .    

 

Закон Кулона в таком же виде справедлив и для тел со сферически симметричным распреде- лением заряда. В этом случае  r – расстояние ме- жду центрами зарядов.

r1         

r

 
2

O

Для нахождения силы взаимодействия между протяженными телами с произволь- ным распределением заряда, их надо представить как систему точечных зарядов. Сила,

действующая на точечный заряд qi

первого тела со стороны точечного заряда q j

вто-

 

 

рого тела, равна

Fij =

 

1

4 0

qi q j

r

 
3

ji

 

rji , где

 

r ji

 

 

– расстояние между точечными заряда-

ми. Для нахождения силы взаимодействия между телами необходимо найти векторную сумму  сил  взаимодействия  между  точечными  зарядами  (сложить  по  всем  i  и            j ).

Такую же процедуру мы выполняли при рассмотрении закона всемирного тяготения.

Если это проделать для простых тел, но не со сферически симметричным распре- делением зарядов, то даже если удастся получить аналитическое выражение для силы взаимодействия этих тел, оно будет иметь другой вид, отличный от закона Кулона.

 

Кулоновское взаимодействие является неконтактным, для его описания (так же, как  и  для  описания  гравитационного  взаимодействия)  используют  понятие  поля. В данном случае – э л е к т р и ч е с к о е  п о л е , под которым мы будем понимать изме- нение свойств пространства вокруг заряда, обусловленное его наличием и проявляю- щееся в возникновении силы, действующей на другой заряд, помещенный в это поле.

 

Если поле не меняется со временем (а именно такие поля мы будем рассматривать в данной теме), его называют э л е к т р о с т а т и ч е с к и м  п о л е м . Термином элек- трическое поле мы будем пользоваться в этой теме как синонимом.

Для характеристики электрического поля вводят в е к т о р        E

н а п р я ж е н н о-

с т и  п о л я . Вектор напряженности в некоторой точке электрического поля равен

силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку по- ля. По определению

         

E  F .

q

 

Если известна напряженность электрического поля, то сила, действующая на за-

                  

ряд q , будет равна

F  qE . Из определения следует, что E

– силовая характеристи-

ка электрического поля.

 

Напряженность поля точечного заряда Q в точке на расстоянии  r  от него

найдем, разделив силу Кулона на заряд q , помещенный в это точку

 

         1          qQ r

         

 
3

            0         

E  F

 4            r

         1          Q r ,

q          q          4 0  r 3

где r – вектор, проведенный из силового центра поля (источника поля) – заряда Q  в

рассматриваемую точку поля. Величина напряженности будет равна

         F          1          Q

E  E                     2 .

q          4 0  r

 

Для   изображения   электрического   поля   используют

 
с и л о в ы е   л и н и и . Это линии, касательные к которым

E          совпадают по направлению с вектором напряженности  E ,

и  их  плотность  (густота)  пропорциональна  величине  на-

Q         пряженности поля.

 

Если у нас есть не один точечный заряд Q , а система

n точечных зарядов

Qi , для электрического поля выполня-

ется п р и н ц и п  с у п е р п о з и ц и и   (принцип наложения): каждый заряд создает электрическое поле независимо от других зарядов (поле одного заряда не влияет на по- ля других зарядов), и напряженность результирующего поля системы зарядов равна векторной сумме напряженности электрических полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности

                           n    

E  E1  ...  En   Ei .

i 1

На  рисунке  проиллюстрирован  принцип  суперпозиции         

 

для двух точечных зарядов

 

Q1 и

Q2 . Принцип суперпо-                 E

E

 
2

зиции  позволяет  найти  электрическое  поле  для  любой

системы зарядов, поскольку если заряды не точечные, их всегда можно свести к совокупности точечных зарядов.

Электрические поля двух одинаковых по величине зарядов, изображенные силовыми линиями, выглядят как представлено на рисунке (проверить самостоятельно):

 

Q1  0

E1

 

Q2  0

 

 

Q  0

Q  0

Q  0

Q  0

 

 

Силовые линии не могут обрываться в пустоте, они начинаются на положитель- ных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность (или приходят из бесконечности).

 

Для характеристики энергетических свойств электрического поля вводят еще од- ну характеристику, связанную с потенциальной энергией взаимодействия зарядов – по- тенциал электрического поля.

Силы электростатического поля являются консервативными, работа этих сил при перемещении заряда не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Следовательно, как и для других консервативных сил, для электростатического поля можно ввести п о т е н-

ц и а л ь н у ю  э н е р г и ю . Разность потенциальной энергии

Eпот1    и

Eпот2    между

точками 1 и 2   будет равна работе сил электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2

 

A12   Eпот1

 

 Eпот2  .

 

Эта работа зависит от величины перемещаемого заряда  q . Для характеристики поля введем величину, определяемую только свойствами поля и не зависящую от вели- чины заряда. Это работа сил электрического поля по переносу единичного положи-

тельного заряда, которая определяет р а з н о с т ь  п о т е н ц и а л о в

 

A         Eпот

 

Eпот

A12(ед )    12

         1          2    1  2   .

q

 

Здесь мы ввели          величину

q

 

  Eпот

q

q

 

,  называемую  п о т е н ц и а л о м   э л е к-

т р и ч е с к о г о  п о л я  – это потенциальная энергия единичного положительного за- ряда в электрическом поле.

 

 

Найдем потенциал поля точечного заряда.

 

 

(1)

По определению   2

 1    A12(ед )

 A21(ед )

   Fед  cos  dr .

(2)

Так как работа не зависит от пути, то из точки 2, находящейся на расстоянии  r2

от заряда Q , мы будем перемещать заряд в точку 1 через точку 3, расположенную на

прямой, соединяющей точку 2 с зарядом Q и находящуюся от него на таком же рас-

 

1                   2

стоянии

r1 , что и точка 1. Причем из точки

E          2 в точку 3 будем перемещать по прямой, а

r2         из точки 3 в точку 1 – по дуге окружности.

Поскольку сила

Fед , действующая на еди-

r1         

E

3

 

ничный заряд, по определению есть напря- женность E , мы получим

Q

A21(ед ) 

3

 E cosα  dr 

2

1

 E cosα  dr .

3

При этом работа на участке (3)-(1) будет равна нулю, так как напряженность  E

 

пер-

 

пендикулярна элементарному перемещению

dr ,  и

cos  0 . Тогда работа на всем

участке (2)-(1) будет равна работе на участке (2)-(3), на котором cos  1,

3

3          1          Q

Q         r1 dr

 

r

 
Q          1      1 

A21(ед ) 

 E cosα  dr   

2 dr  

                  

             .

 

2

2 4πε 0  r

4πε      2

0

 
r2

4πε 0  r2

r1 

Q          1      1 

То        есть     мы       получили

  2  1  4

                      .       Следовательно,

r           r

0   2 1 

Q         Q

1  4

 

0 r1

и 2  4

 

0 r2

. Для произвольной точки на расстоянии r от точечного

 

заряда  Q потенциал будет определяться выражением

      1          Q .

4 0  r

 

Потенциал бесконечно удаленных точек ( r   ) будет равен нулю, 

 

 0 , по-

этому потенциал в произвольной точке поля точечного заряда можно определить как работу сил электрического поля, которую они совершают при перемещении единично- го положительного заряда из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электрического поля) по переме- щению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку.

Для  потенциала электрического  поля  справедлив    п р и н ц и п   с у п е р п о з и- ц и и . Потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов по- лей, создаваемых каждым зарядом в отдельности

 

n

  1  ...  n  i .

i 1

 

Обе введенные величины: и напряженность, и потенциал – характеризуют одно поле, естественно, они должны быть связаны между собой. Соотношение между ними, полученное из определения потенциала, является интегральной формой записи связи между напряженностью поля и распределением потенциала

2   

  2  1    Edr .

1

 

Знак минус перед интегралом указывает на то, что

потенциал      убывает          в          направлении  напряженности

электрического поля.                                                                       

В направлении, перпендикулярном силовым лини-        E

ям (вектору напряженности поля), потенциал не меняет- ся. Поэтому поверхность, перпендикулярная силовым линиям   электрического   поля,   называется   э к в и п о- т е н ц и а л ь н о й   п о в е р х н о с т ь ю   –  поверхностью постоянного потенциала.

 

Если  э л е к т р и ч е с к о е   п о л е  о д н о-

 

Q

 

  const

р о д н о , то есть его напряженность  E

одина-

кова во всех точках поля по величине и направ-  

         E

лению, то  E

грала

2

можно вынести из-под знака инте-

1                   2

                        

r12

  E  dr  E r12

1

 Ed cos  ,  где

r12   –

 

                  

вектор, соединяющий точку 1 с точкой 2,

d  r12

,  – угол между  E и

r12 . Если

         

r12   E , то мы получим выражение, определяющее разность потенциалов в однород-

ном поле вдоль силовой линии между точками на расстоянии d друг от друга

  Ed

или

  Ed .

 

 

Если мы вычислим работу сил электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутой траектории, то есть когда точка 1 совпадает с

точкой 2 и, следовательно,

1  2 , эта работа будет равна нулю

  0 . (Это след-

ствие консервативности электростатических сил.) С другой стороны, мы знаем, что

2    

    Edr ,  следовательно,

1

  

 Edr  0 .  Символом       обозначают  интеграл  по

(l )

замкнутой области интегрирования. Мы так обозначили интеграл по замкнутой траек- тории (контуру) l , который называется циркуляцией.

Мы получили важное свойство, вытекающее из консервативности электростати-

ческих сил – циркуляция напряженности электростатического поля равна нулю

 
 Edr  0 .

(l )

 

Воспользовавшись принципом суперпозиции, можно вычислить напряженность электрического поля, создаваемого произвольной системой точечных зарядов в любой точке пространства. Однако за исключением  самых простых систем вычислить эту сумму (или интеграл в случае протяженных тел) крайне сложно и, чаще всего, получить аналитическое выражение не удается.

В то же время рассчитать поле ряда сложных, но симметричных систем зарядов, можно без применения принципа суперпозиции, используя теорему Гаусса (K. Gauß,

1777–1855), которая устанавливает более общую связь между зарядом и полем и зани- мает важное место в электростатике.

 

Прежде чем перейти к теореме Гаусса, введем понятие потока.

Э л е м е н т а р н ы м           п о т о к о м

d  вектора  напряженности  электрического

поля E

через элементарную площадку dS называют физическую величину

 
d  EdS cos ,

d

 
         S          

n                   где    – угол между вектором  E

и нормалью  n  к

E          площадке dS . Здесь n – единичная нормаль ( n

 1).

 

Если ввести вектор

dS  dS  n , то поток можно вы-

S          разить как скалярное произведение

  

d  EdS .

 

П о т о к  через произвольную поверхность  S , которую можно представить со- вокупностью элементарных площадок, равен сумме элементарных потоков и выража- ется интегралом

           

E           

 d 

( S )

 EdS .

( S )

dS

Q         Найдем  поток  вектора  напряженности  E

 

 

через

произвольную  замкнутую  поверхность   S ,  окружаю-

щую точечный заряд Q . Для этого сначала найдем по-

S0        ток через сферу S0

радиусом R с центром в точке, где

расположен заряд

      1          Q

    EdS 

( S 0 )

 EdS cos 

( S 0 )

4pe

 
( S 0 ) 0

dS ,

r 2

так как

1

  0 и

Q

cos  1. Кроме того,

r  R

для точек сферы

S0 , следовательно,

 

2

 

      R 2

 dS . Так как  dS –  площадь поверхности сферы, равная

4R

, мы

4          0          ( S 0 )

( S 0 )

      Q

получим поток через сферу

    EdS           .

( S 0 ) 0

Как мы видим, поток через сферу не зависит от радиуса сферы.

 

Найдем теперь поток через произвольную замкнутую поверхность  S , которую мы можем представить как совокупность участков сфер, причем тем точнее, чем мень- ше участки мы возьмем.

 

S0        S0

Q         S          Q         S

 

Суммарный поток через эти участки, с одной стороны, будет равен потоку через поверхность  S . С другой стороны, он будет равен суммарному потоку через участки,

которые в совокупности образуют сферу

S0 . Таким образом, поток через произволь-

ную замкнутую поверхность S будет равен потоку через  сферу

S0 , в центре которой

расположен создающий поле заряд. Поток через такую сферу мы нашли, следователь- но, поток через произвольную замкнутую поверхность будет равен

      Q

e

 
    EdS  .

( S )     0

 

Результат не зависит от местоположения заряда. Заряд  Q  может быть расположен в

любой точке внутри поверхности S . Более того, если внутри поверхности находится не

один заряд, а система зарядов

Qi , то поток электрического поля системы зарядов  бу-

дет равен сумме потоков, то есть

      n

n                            n  Q

 EdS      i

   Ei dSi

   i  .

 

( S )

 

i 1

 

i 1 ( S )

i 1  0

Мы доказали т е о р е м у  Г а у с с а . Поток вектора напряженности электриче- ского поля через произвольную замкнутую поверхность S равен суммарному заряду, находящемуся внутри поверхности, деленному на электрическую постоянную

 

n

 Qi

   

 EdS   i 1             .

( S )      0

 

dq

Если  ввести  плотность  заряда

 

n

( x, y, z, ) 

dV

–  заряд  единицы  объема,  то

 Qi

i 1

   dV , где интегрирование ведется по объему V  внутри замкнутой поверх-

(V )

ности S . Тогда теорему Гаусса можно записать в виде

 

      1

e

 
 EdS 

( S )     0

 ( x, y, z, )dV .

(V )

 

Как мы уже отмечали, теорема Гаусса важна не только теоретически, она позво- ляет легко найти напряженность электрического поля для симметричного распределе- ния зарядов.

 

Воспользуемся теоремой Гаусса при нахождении поля, создаваемого бесконеч- ной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда   . П о в е р х н о с т н о й   п л о т н о с т ь ю   з а р я д а   называют  заряд  единицы  площади

заряженной поверхности.

         В качестве гауссовой поверх-

E          ности выберем цилиндр с направ-

S0        ляющими, перпендикулярными за-

E

 
h                   ряженной       плоскости,      площадью

оснований

S0 , отстоящих от плос-

 

h          E

         S0

E

кости  на  расстоянии   h .  Найдем поток  вектора  напряженности  че-

рез поверхность цилиндра, кото- рый будет равен сумме потоков через основания и боковую по- верхность

        

        

 EdS 

( S )

 EdS 

( S осн1 )

 EdS 

( S осн2 )

 EdS .

( S бок )

Вектор  E

может быть направлен только перпендикулярно плоскости (плоскость

безгранична и с любой стороны от произвольной точки на поверхности расположен

одинаковый заряд) и от плоскости (плоскость заряжена положительно). Тогда на боко-

                           

вой поверхности –

EdS , а на основаниях –

E  dS . Следовательно, на боковой по-

  

верхности

EdS  0 , и поток через боковую поверхность будет равен нулю. Полный

  

поток будет равен потоку через основания, на которых

EdS  EdS .

Все точки оснований эквивалентны, они ничем не отличаются друг от друга (как и все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от плоскости, так как плоскость

безгранична). Это значит, что в любой точке оснований напряженность поля одинакова, и ее можно вынести за знак интеграла.

Учитывая все перечисленное, получим

              

 EdS 

( S )

 EdS 

( S осн1 )

 EdS  E

( S осн2 )

 dS  E

( S осн1 )

 dS  2ES0 ,

( S осн2 )

поскольку интеграл от dS равен площади поверхности интегрирования. Мы вычисли- ли поток по определению потока.

С другой стороны, по теореме Гаусса, поток равен суммарному заряду

S 0

уча-

стка заряженной плоскости площадью S0

  

внутри цилиндра, деленному на  0 . Тогда

1

 
n

 EdS 

Qi

 S0  .

 

( S )

0 i 1           0

 

Приравнивая правые части полученных выражений для потока, найдем в е л и- ч и н у  н а п р я ж е н н о с т и  э л е к т р и ч е с к о г о  п о л я  п л о с к о с т и

 

E     .

20

 

Вектор напряженности, как мы уже отмечали, перпендикулярен плоскости и на- правлен от нее, если заряд плоскости положительный, и к ней – если отрицательный.

Мы получили, что напряженность поля одинакова во всех точках поля по величи- не и направлению, таким образом, электрическое поле бесконечной заряженной плос- кости является однородным.

 

Рассмотрим другую простую, но важную систему зарядов – диполь.

Э л е к т р и ч е с к и м  д и п о л е м  называется система двух одинаковых по вели-

чине разноименных точечных зарядов   q

друг от друга.

и   q , расположенных на расстоянии  l

Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Расстояние  l

между зарядами диполя называют плечом диполя.

Основная характеристика диполя, называемая его д и п о л ь н ы м  м о м е н т о м ,

равна

         

p  ql ,

 

где  l –  вектор,  проведенный  от  отрицательного  заряда  к  положительному  заряду. Дипольный момент p направлен по оси диполя также от отрицательного заряда к по-

ложительному.

Дипольным моментом обладают многие молекулы, например, двухатомная моле- кула CO (атом C имеет небольшой положительный заряд, а O – небольшой отрица- тельный заряд), несмотря на то, что молекула в целом нейтральна.

 

Найдем электрическое поле, создаваемое диполем.

Сначала рассмотрим точку, расположенную на серединном перпендикуляре, на

2

расстоянии  r от оси диполя.  Расстояние от каждого заряда равно женность  поля,  создаваемая  одним  заря-

r 2  l

4

 

. Напря-

 

дом,

 

E  E 

1

4 0

Q

 

2

 
r 2  l

4

 

.  Резуль-

                  E

E

тирующее поле найдем, воспользовавшись           

                  

 

принципом   суперпозиции

E  E   E .       E          r

Составляющие напряженностей, перпенди-

кулярные диполю, взаимно уничтожаются.

Тогда величина напряженности поля, соз-             Q

даваемого  системой  двух  зарядов,  будет

равна

 

 

         l           l                  Q

2          2

l

 

 

E  2E

 

cos 

1

2 0

Q         l

2          l 2        l 2

r            4         2

r 2       

 

 

или

 

 

E       1

4    

4

Ql

.

l

 
2  3 2

0

 r 2    

4

 
         

         

 

П о л е  д и п о л я  н а  п е р п е н д и к у л я р е , восстановленном к оси диполя из

его середины, в точке на расстоянии от диполя r  l

имеет напряженность

 

E       1          p .

3

4 0  r

 

Найдем поле диполя в точках на оси диполя.

 

 

Результирующее поле, созда-

l

 Q        2

l            Q        

E

 
2          

 

r

         ваемое            двумя  зарядами         на

E          прямой, соединяющей эти за-

ряды,  по  принципу  суперпо- зиции будет равно

E  E   E .

В точке, удаленной от центра диполя на расстоянии  r , напряженности полей будут равны

 

E 

1

4=