Название: Механика. Электричество. Часть 1 - курс лекций (А. Б. Климовский)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1324


Тема: механические колебания

 

Вопросы:

1. Колебательные процессы, их характеристики. Примеры механических колебательных систем.

2. Способы описания и изображения колебаний.

3. Классификация колебательных процессов.

4. Гармонические колебания. Уравнение колебаний. Характеристики.

5. Уравнение колебаний плоского гравитационного маятника.

6. Уравнение колебаний пружинного маятника.

7. Сложение гармонических колебаний одного направления.

8. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

9. Уравнение, описывающее затухающие колебания и его решение.

10. Затухающие колебания. Характеристики затухания.

11. Вынужденные колебания при гармоническом воздействии.

12. Резонанс вынужденных колебаний.

 

К о л е б а н и я м и ,   или  к о л е б а т е л ь н ы м и    п р о ц е с с а м и ,   называются процессы, в которых значения параметров состояния системы периодически повто- ряются.

Такими свойствами обладают, например, качание маятника часов, колебания но- жек камертона или струны, напряжение между обкладками конденсатора в контуре ра- диоприемника и т. д. Простейшими механическими колебательными системами явля- ются:

а) плоский гравитационный маятник, частным случаем которого является мате- матический маятник – материальная точка массой  m  на нерастяжимой и невесомой нити длиной L , совершающая колебания в вертикальной плоскости;

б) пружинный маятник – тело массой m , прикрепленное к пружине жесткостью

k , совершающее колебания в горизонтальном направлении.

 

a)         б )

k

m

L

 

m

 

Исходя из определения колебательного процесса, следует, что его основной ха- рактеристикой является промежуток времени, через который значения параметра со- стояния системы повторяются – п е р и о д  T  – время одного колебания. С периодом связана другая важная характеристика – ч а с т о т а  к о л е б а н и й   – количество ко-

t

лебаний в единицу времени. Так как

T       , где  n – число колебаний за время  t , а

n

  n , то частота колебаний и период связаны соотношением

t

T  1 .

 

Кроме частоты колебаний используют ц и к л и ч е с к у ю  ( к р у г о в у ю )  ч а с- т о т у   , которая связана с периодом и частотой колебаний выражением

 

  2

 

 2 .

T

 

Любая  функция

x(t) ,  обладающая  свойством  периодичности  (повторяемости)

x(t  T )  x(t) , будет описывать некоторый колебательный процесс. Здесь  x  – пе- риодически изменяющийся параметр состояния системы.

 

Для колебаний можно использовать несколько способов описания колебательно- го процесса.

1.   Описание  колебаний  через  явное  задание  функции

x(t)

называется  аналитиче-

ским.  Например,  аналитическое  выражение гармоническое колебание.

x(t)  Acos(t  0 )

описывает

2.   Другой способ описания колебания – экспоненциальный,  в котором колебатель- ный процесс задается с помощью комплексной функции вида Z  Aei(t  0 ) . Если величина  A , стоящая перед экспонентой, будет постоянной и вещественной, то ве-

щественная часть Z и мнимая часть Z будут описывать некоторые гармонические

колебания

x(t)  Re Z  A cos(t  0 ) и

y(t)  Im Z  A sin(t  0 ) .

В общем случае величина  A может быть функцией времени и колебания не гармо- нические.

3.   Третий способ описания колебаний – с помощью уравнения фазовой траектории,

связан с изображением колебательных процессов на фазовой плоскости.

 

Каждому способу описания колебательного процесса соответствует свой способ изображений колебаний.

1)  С помощью

x  t -диаграммы – кривой, изображающей процесс на координат-

ной плоскости ( x, t) .

x          x

 

t

 

t

 

 

y          

A

 

  t  0

x

2)  С    помощью        векторных      диаграмм.

Колебания  представляют  собой  проекции вращающегося   с   угловой   скоростью  

вектора A :

x(t)  A cos   A cos(t  0 ) ,

y(t)  A sin   A sin(t  0 ) .

В общем случае длина вектора может быть

функцией времени

A(t) .

 

3)  С    помощью        фазовой          траектории     на фазовой  плоскости.  В  каждый  момент

времени          t           состояние       колебательной           t1

системы          полностью     определяется

периодически изменяющимся параметром             A

 

 

v

A      t2

 

A

 

x          и  ее  производной

v  dx  x .  Эти        x

dt

величины,  отложенные  на  координатных осях, определяют    фазовую          плоскость.

 

 A

Поскольку

x(t)

и          v (t )

функции

периодичны, то совокупность состояний колебательной системы образует замкнутую    кривую    на    фазовой    плоскости,    называемую    ф а з о в о й т р а е к т о р и е й .

Фазовая  трактория  гармонического  колебания

x(t)  Acos(t  0 )

представляет собой эллипс, уравнение которого имеет вид

x 2       v 2

A2       A22

 

 1.

 

Все колебательные процессы можно разделить по типам колебаний. Признаки, по которым классифицируют колебания, различны.

 

По форме

x  t -диаграммы колебания делятся на треугольные, прямоугольные,

гармонические и т. п.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают ко- лебания механические и электромагнитные.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические ко- лебания.

С в о б о д н ы м и  или с о б с т в е н н ы м и  называются колебания, которые про- исходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

В ы н у ж д е н н ы м и  называют такие колебания, в процессе которых колеблю- щаяся система подвергается внешнему периодически  изменяющемуся воздействию. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой внешнего воздействия.

А в т о к о л е б а н и я , как и вынужденные колебания, обусловлены внешним воз- действием на колеблющуюся систему, но в автоколебаниях внешнее воздействие явля- ется постоянным, частота колебательного процесса определяется свойствами колеб- лющейся системы.

При п а р а м е т р и ч е с к и х  к о л е б а н и я х за счет внешнего воздействия про- исходит периодическое изменение какого-либо параметра системы без сообщения системе энергии, например, периодическое изменение длины нити, к которой подве- шен шарик, совершающий колебания.

 

В нашем курсе мы рассмотрим только первые два типа колебаний.

Начнем  с  уже  неоднократно  упоминавшихся  г а р м о н и ч е с к и х   к о л е б а- н и й , то есть колебаний, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника от положения равновесия) изменяется со временем по закону синуса или ко- синуса.

 

Функция, описывающая гармонические колебания, имеет вид

x(t)  Acost  0 ,

 

где  x – периодически изменяющийся параметр системы, называемой обобщенной ко- ординатой, который мы будем называть смещением, поскольку в этой теме мы будем иметь дело только с механическими колебаниями,  – циклическая частота колебания,

A и 0

– постоянные, определяемые из начальных условий.

Изучение гармонических колебаний имеет большое значение, поскольку любой периодический процесс можно представить как сумму гармоник – гармонических ко- лебаний.

График гармонического колебания ( x  t -диаграмма)

x                      Поскольку косинус изменяется в пределах от –1 до +1, значения  x ле-

A         жат в пределах от A до A .

T          Величина       A         наибольшего  от-

t           клонения обобщенной координаты от положения равновесия при гармониче-

ских колебаниях называется а м п л и- т у д о й    г а р м о н и ч е с к и х           к о-

 A        л е б а н и й . Амплитуда – постоянная положительная величина.

Величина  t  0 ,  стоящая  под  знаком  косинуса,  называется  ф а з о й   г а р-

м о н и ч е с к о г о  к о л е б а н и я . Постоянная 0

представляет собой значение фазы

в момент времени

t  0

и называется н а ч а л ь н о й  ф а з о й  г а р м о н и ч е с к о г о

к о л е б а н и я . Значение начальной фазы зависит от выбора начала отсчета времени.

 

На примерах простейших колебательных систем получим уравнение колебаний и определим условия, при которых колебания будут гармоническими.

 

1.   Плоский гравитационный маятник

Плоским гравитационным маятником называют твердое тело, совершающее под

действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси.

 

j

 
L          L

         m

m

 

 

  mg

mg

 

 

математический маятник     физический маятник

 

Принято  различать  математические  и  физические  маятники.  М а т е м а т и ч е- с к и м  м а я т н и к о м называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка.

 

52

 

Если колеблющееся тело нельзя представить материальной точкой, маятник на- зывают ф и з и ч е с к и м  м а я т н и к о м .

 

Начнем рассмотрение с физического маятника.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом  ,

образованным прямой, проходящей через точку подвеса и центр масс, с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент си-

лы тяжести относительно оси подвеса, равный

от точки подвеса до центра масс тела.

M  mgL sin  , где  L – расстояние

Уравнение     динамики       вращательного           движения

I  M

примет            вид

I  mgL sin 

или

I  mgL sin   0 ,  так  как  угловое  ускорение равно  второй

2

 

производной от угла,

  d

   .  Разделив на  I ,  получим  у р а в н е н и е  к о л е-

dt 2

б а н и й  ф и з и ч е с к о г о  м а я т н и к а

  mgL sin   0 .

I

При малых углах (   15 ) можем считать

sin   , и дифференциальное урав-

нение, описывающее движение, становится линейным

  mgL   0 .

I

Для математического маятника учтем, что для тела, представляющего одну ма-

териальную точку, расположенную на расстоянии  L  от оси, момент инерции равен

I  mL2 , тогда у р а в н е н и е   к о л е б а н и й   м а т е м а т и ч е с к о г о   м а я т н и к а

будет иметь вид

  g sin   0

L

 

или при малых углах

  g   0 .

L

 

2.   Пружинный маятник

Положение груза  m  будем

описывать  смещением  x  от  по-   k          m

ложения равновесия, равным рас-

тяжению  или  сжатию  пружины   

(при сжатии смещение будет от- рицательным). При растяжении или сжатии пружины на груз бу- дет   действовать   возвращающая

сила, при малых смещениях подчиняющаяся закону Гука

0          F  x

 

F  kx . Второй закон Нью-

тона в проекции на горизонтальную ось для груза будет иметь вид

ma  kx

d 2 x

или

mx  kx  0 , так как ускорение равно второй производной  смещения

 

Разделив на массу, получим

a  dt 2

 x .

 

x 

k x  0 .

m

 

Таким образом, движение гравитационных маятников при малых углах и движе- ние пружинного маятника при малых смещениях описывается линейным  дифференци- альным уравнением второго порядка вида

 

x  2 x  0 .

 

Решением       этого   уравнения      является          гармоническое           колебание

x(t)  Acost  0 .  В этом нетрудно убедиться подстановкой, поскольку первое

слагаемое       после  двукратного   дифференцирования будет   равно

x  2 Acost  0 . Коэффициент перед  x  в уравнении имеет смысл   квадрата

циклической частоты.

 

Можем сделать вывод, что движение физического маятника при малых откло-

 

нениях (когда

 

sin   ) будет гармоническим колебанием с частотой  

 

I

mgL

и

I

периодом T  2

 

mgL

. Движение математического маятника при малых откло-

 

g

нениях            будет   гармоническим          колебанием    с          частотой          

L

и          периодом

 

T  2

L

. Для физического маятника вводят п р и в е д е н н у ю  д л и н у  ф и з и ч е-

g

 

с к о г о  м а я т н и к а

L                   I           – длина эквивалентного (такой же массы и колеб-

пр        mL

лющегося с той же частотой) математического маятника. Тогда частоту и период

 

физического маятника можно записать    

 

g

Lпр

 

и T  2

Lпр

g

 

 

. Аналогично дви-

жение груза на пружине  будет  гармоническим колебанием при малых  смещениях

 

(должен выполняться закон Гука) с частотой  

k  и периодом T  2           m .

m         k

Мы рассматривали случаи, когда колеблющееся тело участвует в одном колеба- тельном процессе. Допустим теперь, что материальная точка участвует в двух колеба- тельных процессах. Пусть они будут одного направления с одинаковой частотой и

амплитудой

x1(t)  Acost  1  и

x2 (t)  Acost  2 . Тогда результирующее

движение будет гармоническим колебанием с той же частотой

x(t)  Acost  0 .

Амплитуду и фазу результирующего колебания можно найти, воспользовавшись три-

y

A2       

гонометрическими соотношениями или ме-

A         тодом векторных диаграмм. Мы применим метод векторных диаграмм.

Вектор  колебания     x          будет  суммой

         2          1   

векторов колебаний  x1  и

A1       косинусов

x          2          2

x2 . По теореме

A      A1

 A2

 2 A1 A2 cos

 

или, так как     (2   1 ) и cos   cos(2   1 ) ,

 

A

 

2

 
A      1

 A2

 2 A1 A2 cos(2   1 ) .

 

2

 
Фазу результирующего колебания найдем из условия

 

 

tg  

 

A1y

A1x

 

 A2 y

 A2 x

 

  A1 sin 1   A2 sin 2  .

A1 cos1   A2 cos2

 

Если материальная точка может совершать колебания, как вдоль оси  x , так и вдоль перпендикулярной ей оси  y , то при возбуждении обоих колебаний материальная

точка будет участвовать в движении, получаемой сложением двух колебаний во вза- имно перпендикулярных направлениях. Она будет двигаться по некоторой криволи- нейной траектории, форма которой зависит от частот и разности фаз обоих колебаний.

 

Рассмотрим    случай,            когда   частоты          колебаний      вдоль  осей    одинаковы

x    y  .

Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была  равна  нулю.   Тогда   уравнения   колебаний  запишутся   следующим  образом:

x  a cost ,

y  b cost  , где   – разность фаз обоих колебаний. Записывая

складываемые колебания в виде

x  cost  и

a

y  cos(t  )  cos t cos   sin t sin  , и,  заменяя во втором

b

 

cost  на

 

x          и sin t  на

 

2

 
1  x

 

 

,  получим уравнение траектории материальной

a

точки

a 2

 

2

 

2

 
x           2xy cos  y

 

 sin 2  ,

a 2       ab        a 2

являющееся уравнением эллипса. Вид полученного эллипса зависит от амплитуд a и b

и разности фаз  . При a = b получим

 

  0

 

   / 4

 

   / 2

 

  3 / 4

  

 

 

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, полученных фран- цузским физиком Жюлем-Антуаном Лиссажу (J.-A. Lissajous, 1822–1880) и называемых фигурами Лиссажу.  При соотношении частот 1:2 ( x   , y   2 ), то есть для ко-

лебаний

x  a cost ,

y  b cos2t  ,

 

и при a = b фигуры Лиссажу имеют вид

  0

   / 4

   / 2

  3 / 4

  

 

 

При рассмотрении колебаний до сих пор мы не учитывали диссипативные силы (силы трения и сопротивления) и получили уравнение гармонических колебаний, кото- рые возникают только в идеальных колебательных системах, где сохраняется полная механическая энергия. В частности, для идеального пружинного маятника, который мы рассмотрели, будет выполняться закон сохранения энергии

 

E  Eпот   Eкин 

kx2

2

mv 2

2

kA2

2

 mv 2 ax

=            m            .

 
2

 

При выведении из положения равновесия не идеальной колебательной системы, а реальной системы, колебаний может не быть. Это связано с большими потерями энер- гии. Если потери энергии не велики, то колебания могут возникнуть, но с течением времени они прекратятся. Такие колебания называются затухающими колебаниями.

Процессы в колебательной системе с потерями энергии, которые мы будем рас- сматривать, описываются уравнением

 

0

 
x  2x  2 x  0 .

 

Второе слагаемое, которого не было в уравнении гармонических колебаний, обу- словливает затухание колебательного процесса. Коэффициент  называется коэффи-

циентом затухания. Величина, входящая в третье слагаемое

0 , называется собст-

венной частотой системы, которая равна частоте свободных гармонических колеба- ний.

Затухание связано с действием сил сопротивления. Приведенное уравнение полу-

чается, если сила сопротивления пропорциональна скорости, то есть

F  rx .  Для

пружинного маятника коэффициент сопротивления  r  связан с коэффициентом зату-

 

хания соотношением

   r

2m

 

0

 
. Собственная частота пружинного маятника 2

  k  .

m

 

 

x

 

A  A0et

A0

 

T

Колебательный процесс будет проис- ходить при не слишком сильном (докрити- ческом) затухании (   0 ). В этом случае общее решение уравнения имеет вид   з а- т у х а ю щ и х  к о л е б а н и й

 

x(t)  A0et cos(t  ) .

П

 
t           унктирными линиями показана амплиту-

да затухающих колебаний

 

A(t)  A0et .

 

 

Частота затухающих колебаний  равна

 

 

 

0

 
период –

      2  2  ,

 

T  2 

 

2

.

0

 
2  2

 

Затухание колебаний можно характеризовать коэффициентом затухания    или

 

в р е м е н е м  р е л а к с а ц и и  (п о с т о я н н о й  в р е м е н и  з а т у х а н и я )

  1 , за

которое амплитуда колебаний уменьшается в

e  2,71... раз. Кроме этих величин,

удобно пользоваться другими характеристиками затухания –   д е к р е м е н т о м  з а- т у х а н и я   , который равен уменьшению амплитуды за период

 

      A(t )

A(t  T )

 

 eT ,

 

и          л о г а р и ф м и ч е с к и м    д е к р е м е н т о м

  ln   T .

 

 

При сильном затухании (   0 ) процесс становится апериодическим.

При   0  (критическое затухание) –

x(t)  ( A  Bt)et .

            

При   0  (закритическое затухание) –

x(t)  Ae

k1t

 Be

k 2 t ,

 

где k1,2

 

  

2  2 .

 

Все эти процессы при разных коэффициентах затухания на зовой плоскости будут иметь вид

x

 

0

 
x  t

 

-диаграмме и фа-

закритическое

 

критическое

 

t

v          закритическое

 

x

докритическое

 

 

докритическое

 

критическое

 

Если кроме сил сопротивления на колебательную систему действует периодиче- ски изменяющаяся внешняя сила, то будут возникать вынужденные колебания.

В  случае,  когда  вынуждающая  сила  изменяется  по  гармоническому  закону

F (t)  F0 cos t , колебания описываются дифференциальным уравнением

 

0

 
x  2x  2 x 

 

f0 cost ,

 

где

 

f 0   F0 / m ,    – коэффициент затухания,

 

0  – собственная частота системы,

 – частота вынуждающей силы.

Решением этого уравнения будет сумма вынужденного и затухающего колебаний.

 

Спустя время

t    1 , затухающими колебаниями можно пренебречь. Тогда коле-

бания будут только в ы н у ж д е н н ы м и  к о л е б а н и я м и , имеющими вид

x(t)  Acost   .

 

Они будут происходить с амплитудой

A

 

и фазой

, зависящими от частоты

вынуждающей силы. Фаза    характеризует сдвиг фаз между вынуждающей силой и

смещением.

         Зависимость



называется     фазово-

0          3 2       1

4

         частотной  характеристикой  (ФЧХ),  и  она  имеет вид

         tg  

2

0

 
.

2          2

 2

 

Зависимость

A

 

называется  амплитудно-

         частотной характеристикой (АЧХ) и имеет вид

 

A 

A

 

f0         .

0

 
2   2 2   422

 

1

 
Приведенные зависимости соот- ветствуют различным коэффици- ентам затухания

2

3          4  3  2  1  0 .

f0         Из графика зависимости ам-

w

 

w

 
2          4          плитуды от частоты

0

A

видно,

 p3

 p 2

 p1  0

что  при  некоторой  определенной

для данной системы частоте ам- плитуда колебания может резко увеличиваться. Это явление назы-

вается р е з о н а н с о м , а соответствующая частота – р е з о н а н с н о й   ч а с т о т о й .

Чтобы определить резонансную частоту, нужно найти частоту, при которой амплитуда

колебаний

A достигает максимума. Условие максимума, определяющее резонанс-

 

ную частоту,

dA  0 . После дифференцирования получаем

d

0

 
 42   2   82  0 .

 

Откуда находим три решения

 

  0 и

 

  

2  22  . Частотой, соответст-

0

 

0

 
вующей резонансу и имеющей физический смысл, является

 

 р 

2  22 .

 

При сильном затухании

 

0

 
22  2

 

резонанса не будет (например, зависимость

A() , соответствующая случаю   4 ).

При малом затухании амплитуда при резонансе приближенно равна

 

р

 
A                  f0         .

20

f0

Разделив это выражение на смещение от положения равновесия

x0     2

0

под

действием постоянной силы

F0 

f0 m ,  получим

 

 Aр

x0

 

 0

2

 

  2

2T

 

   Q ,

 

д о б р о т н о с т ь  к о л е б а т е л ь н о й  с и с т е м ы , которая показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равнове- сия под действием постоянной силы той же величины.

Явление резонанса используется в акустике, радиотехнике и т. д.

 

Электричество

 

При рассмотрении причин движения тел мы отмечали, что взаимодействия  по природе делятся на четыре типа. В механике мы рассматривали только гравитационное взаимодействие. В то же время многие силы, с которыми мы имели дело в механике, являются по своей природе электромагнитными (силы трения, давления, упругости и

т. п.). Законы этого взаимодействия, играющего важную роль в макромире, – электро- магнитного взаимодействия, мы оставляли пока за пределами нашего внимания.

Данный раздел мы начнем с изучения этого взаимодействия тел, обусловленного наличием зарядов. Продолжим разговор уже во второй части курса физики.

В первой части нашего курса мы рассмотрим взаимодействие и свойства систем электрических зарядов, находящихся в пустом пространстве неподвижно относи- тельно выбранной инерциальной системы отсчета, которыми занимается электроста- тика, рассмотрим, как изменяются законы электростатики при наличии вещества, а также при рассмотрении электрического тока познакомимся с характеристиками и способами описания движущихся зарядов.