Название: Механика. Электричество. Часть 1 - курс лекций (А. Б. Климовский)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1318


2.  э ф ф е к т  с о к р а щ е н и я  д л и н ы

Не только временные интервалы различны в разных системах отсчета. Простран-

ственные интервалы (длины и расстояния) также неодинаковы.

 

Измерим длину стержня, расположенного вдоль сонаправленных осей

X /  и  X .

Пусть  стержень        покоится         относительно системы

K / ,     в          которой          его       длина

/           /           /           /

L0  x2  x1 , где  x1

и  x2

– координаты концов стержня, которые не изменяются со

временем и могут быть измерены в любой момент времени. В системе  K , относитель-

но которой стержень движется со скоростью V , его длина будет

L  x2  x1 , где

x1 и

x1 – координаты концов стержня, измеренные в один и тот же момент времени t .

Тогда

 

2

 
L0  x/

 

1

 
 x/ 

 

x2  Vt  

V 2

1 

c2

 

x1  Vt  

V 2

1 

c2

 

x2  x1            L

V 2      V 2

1          1 

c2        c2

 

 

 

или

V 2

L  L0   1        2   .

c

 

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе отсчета, в которой он покоится,  называемая  с о б с т в е н н о й   д л и н о й ,  будет  наибольшей.  Когда  тело движется, оно короче (в направлении движения), чем когда оно покоится – происходит сокращение длины тел в направлении движения.

Поперечные размеры тел, как следует из преобразований Лоренца, не меняются:

/           /           /           /

y2  y1  y2  y1 ,

z2  z1  z2  z1 .

 

Как следует из постулатов СТО, все законы физики должны быть инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца.

d m               

 

Но второй закон Ньютона в таком виде

            0v    F

dt

 

инвариантен по отношению

к преобразованию Галилея, но не Лоренца, поскольку время в различных системах раз-

d

ное, и производные

dt

d

и

dt /

 

в общем случае не будут совпадать. Здесь m0

 

мы обо-

значили инертную массу, введенную в классической механике.

 

В специальной теории относительности  было  получено  выражение  в т о р о г о з а к о н а   Н ь ю т о н а ,   инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, в виде:

         

         

                           

d          m0v

 

  F .

dt 

v 2  

1          2  

c          

 

m0

 
Выражение, стоящее под знаком производной, называется  р е л я т и в и с т с к и м и м п у л ь с о м :

p 

v

 
v           m  .

2

1  v

c 2

 

Для релятивистского импульса второй закон Ньютона имеет знакомый вид

v)

 
d (m 

dt

  .

F

 
Только мерой инертности (массой m ) в СТО является другая величина

 

m      m0       ,

v 2

1 

c 2

 

которая называется  р е л я т и в и с т с к о й  м а с с о й  частицы, движущейся со скоро-

стью v . Классическая (нерелятивистская) масса m0

к о я .

Свойства релятивистской массы:

получила название м а с с ы  п о-

1) при v  0 релятивистская масса совпадает с классической – m  m0 ,

2) при v c

релятивистская масса близка классической –

m  m0 ,

3) при v  c релятивистская масса стремится к бесконечности – m   .

Из выражения для релятивистской массы следует, что скорость света c не дости- жима для частиц вещества. Их масса покоя не равна нулю, следовательно, релятивист-

ская масса должна быть равна бесконечности при v  c .

 

Кинетическая энергия также зависит от системы отсчета, и классическое выраже- ние для кинетической энергии не обязательно справедливо в СТО.

Найдем выражение для кинетической энергии, на основании положений СТО. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, которая выполняется в СТО. Тогда кинетическую энергию можем найти, вычислив работу, затраченную на ус- корение тела из состояния покоя до скорости v . Рассмотрим движение вдоль оси  X

 

Eкин

         Fdx   dp dt

dx   dp vdt   vdp .

ò               ò

 
dt

ò            ò

 
Интегрируем  от

v  0

до        v  v ,  учитывая,       что

d(pv)  vdp  pdv

или

vdp  d(pv)  pdv , тогда

0

 
v          v          v

 

Eкин

  d(pv)   pdv   d mv 2   mvdv  mv 2   

m

vdv .

2

0          0          0

1  v

c 2

 

æ

 
d  

 

2

 

ö

 

v

 
v                v          1          m0

v          2 

æ

 

v

 
2                            

Так как

  1 

  

, то 

vdv  m0c

2

 d   1 

2  .

dv 

c 2  

c 2       v 2

1 

c 2

0          1  v      0                   c          

c 2

 

И мы получаем

 

E

 

 mv 2

 

  m c2

 

 

v

v

 
2 

1   

 

 mv 2   m c 2

 

2

 
1  v

 

 m c 2 .

кин

         0

 

v 2       

c2 

 0

v 2 

0          c 2       0

Поскольку

m0c 2

1           mc 2 1 

ç

 
c 2       

  mc 2  mv 2 ,  окончательное  выражение

c

 

÷

 
2

для р е л я т и в и с т с к о й  к и н е т и ч е с к о й  э н е р г и и  будет иметь вид:

 

 

 

Eкин

 

 mc 2

 

 m0 c 2

 m0 c 2 

1          

 1 .

v 2       

1          2          

c          

 

Здесь  энергия  тела  при  нулевой  скорости  его  движения,

э н е р г и е й  п о к о я

 

v  0 ,  называется

E0   m0 c 2 .

 

Суммарная энергия покоя и энергия движения (кинетическая энергия) тела   на-

зывается  п о л н о й  э н е р г и е й  т е л а

E  Eкин   E0 .

 

 

Полная энергия будет равна зи энергии и массы.

E  mc 2 . Мы получили уравнение Эйнштейна свя-

 

При     малых скоростях

v  1

c

 

справедливо  приближенное           равенство

1           1 

1 v 2

 

, так как  1  xn  1  nx  ..., при

 

x  1. Тогда кинетическая

v 2       2 c 2

1 

c 2

энергия при малых скоростях, много меньших скорости света, может определяться по известной нам классической формуле

         1 v 2             1

Ek   m0 c

2 1               

         2 c 2

 ...  1     m0v 2 ,

         2

которая, как мы теперь видим, является частным случаем релятивистского выражения для кинетической энергии. И это относится не только к кинетической энергии. Все классические формулы и законы имеют или такой же вид, как в СТО, или являются ча- стным случаем релятивистских выражений в приближении малых скоростей.

 

Соотношение классической и релятивистской механики иллюстрирует важный принцип физики – п р и н ц и п   с о о т в е т с т в и я : новые теории не должны отвер- гать старые, старые теории должны вытекать из новых, как частные случаи.