Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1416


2.1.1. задание д-1. исследование колебательного движения материальной точки

 

Варианты 1  5 (рис. 2.1.31)

Найти уравнение движения груза D массой mD или системы грузов D и E массами mD и mE, отнеся их движение к оси x; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или, соответственно, системы грузов D и E (при статической деформации пружин).

Стержень, соединяющий грузы, считать невесомым и недеформируемым.

 

Вариант 1

Груз D (mD = 2 кг) прикреплен к бруску АВ, подвешенному к двум одинаковым  парал- лельным пружинам, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка прикреп- ления груза D находится на равных расстояниях от осей пружин.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (mE = 1 кг). Сопротивле- ние движению системы двух грузов пропорционально скорости: R =12 v (Н), где v  скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

 

Вариант 2

В момент, когда стержень, соединяющий грузы D (mD = 1 кг) и Е (mE = 2 кг) перере- зают, точка В (верхний конец последовательно соединенных пружин) начинает совершать движение по закону ξ = 1,5sin18t см (ось ξ направлена вертикально вниз).

Коэффициенты жесткости пружин c1 = 12 Н/см, c2 = 36 Н/см.

 

Вариант 3

Груз D (mD = 0,8 кг) висит на пружине, прикрепленной к точке F бруска АВ и имеющей коэффициент жесткости c1 = 10 Н/см. Брусок подвешен к двум параллельным пружинам, ко- эффициенты жесткости которых c2 = 4 Н/см, c3 = 6 Н/см. Точка F находится на расстояниях a

 

и b от осей этих пружин:

a  c3  .

b          c2

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (mE  = 1,2 кг). В этот же момент системе грузов сообщают скорость ν0 = 0,2 м/с, направленную вниз. Массой абсо- лютно жесткого бруска АВ пренебречь.

 

Вариант 4

Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под дей-

ствием грузов D (mD  = 0,5 кг) и Е (mE  = 1,5 кг)

помощью абсолютно жесткого бруска АВ.

f ст

= 4 см. Грузы подвешены к пружинам с

В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, перерезают. Сопротивле- ние движению груза D пропорционально скорости: R = 6 v (Н), где v  скорость (м/с). Массой бруска и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь.

 

Вариант 5

Одновременно с подвешиванием к грузу D (mD  = 1,6 кг), висящему на пружине, коэф-

фициент жесткости которой с = 4 Н/см, груза Е (mE  = 2,4 кг) точка В (верхний конец пру-

жины) начинает совершать движение по закону ξ = 2sin5t см (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

Варианты 6  10 (рис. 2.1.31)

Найти уравнение движения груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, состав- ляющей с горизонтом угол α, с момента соприкасания груза с пружиной или с системой пружин, предполагая, что при дальнейшем движении груз от пружин не отделяется. Движе- ние груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя груза (при статической деформации пружин).

 

Вариант 6

Пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30º) расстояние s = 0,1 м, груз D (m = 4 кг) ударяется о недеформированные, последовательно соединенные пружины, имеющие коэффициенты жесткости c1= 48 Н/см и c2= 24 Н/см.

 

Вариант 7

В некоторый момент времени груз D (m = 2 кг) присоединяют без начальной скорости к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффици- енты жесткости c1 = 12 Н/см и c2 = 6 Н/см. В тот же момент времени (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение вдоль наклонной плоскости (α = 45º) по закону ξ = 0,02sin20t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

 

Вариант 8

Две параллельные пружины 1 и 2, имеющие коэффициенты жесткости c1  = 4 Н/см и c2 = 6 Н/см, соединены бруском АВ, в точке К которого прикреплена пружина 3 с коэффици- ентом жесткости c3 = 15 Н/см. Точка К находится на расстояниях а и b от осей пружины 1 и

2: а  c2  . Пружины 1, 2 и 3 не деформированы.

b          c1 .

Груз D присоединяют к концу N пружины 3. В тот же момент грузу D сообщают ско-

рость ν0 = 0,5 м/с, направленную вниз параллельно наклонной плоскости (α = 45º). Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

 

Вариант 9

Груз D (m = 1,2 кг), пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30º) расстояние s = 0,2 м, ударяется о недеформированную пружину, коэффициент жесткости ко- торой с = 4,8 Н/см. В этот же момент (t = 0) точка В (нижний конец пружины) начинает со- вершать вдоль наклонной плоскости движение по закону ξ = 0,03sin12t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

 

Вариант 10

Груз D (m = 1 кг) прикрепляют к середине бруска АВ, соединяющего концы двух оди- наковых параллельных пружин, не сообщая начальной скорости; пружины не деформиро- ваны. Коэффициенты жесткости пружин с = 1,5 Н/см. Сопротивление движению груза про- порционально скорости: R = 8 v (Н), где v  скорость (м/с); α = 60º. Массой абсолютно жест- кого бруска АВ и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь.

 

 

 

 
1          2

c

 

3          4

 

A         B

 

 

 
5          B          t

 

 

 
7

 

 

 
9

6

 

 

 
8

 

10

 

PHc. 2.1.31

Варианты 11  15 (рис. 2.1.32)

Груз D массой m укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в

плоскости чертежа вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин. Верти- кальное положение стержня соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за материальную точку, движется по прямой, определить уравнение движе- ния этого груза.

Движение отнести к оси х, за начало отсчета принять точку, соответствующую положе-

нию покоя груза (при недеформированных пружинах).

 

Вариант 11

Груз D (m = 2,4 кг) соединен с точкой F бруска АВ, связывающего концы двух парал-

лельных пружин, коэффициенты жесткости которых с1 = 1 Н/см и с2 = 1,4 Н/см. Точка F на-

 

ходится на расстояниях а и b от осей пружин:

а  c2  .

b          c1

Груз D отклоняют на величину λ = 2 см влево от положения, соответствующего верти- кальному положению стержня, и отпускают без начальной  скорости. Сопротивление движе- нию груза пропорционально скорости: R = 6v (Н), где v  скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

 

Вариант 12

В некоторый момент времени груз D (m = 3 кг), удерживаемый в положении, при кото- ром пружина сжата на величину λ = 2 см, отпускают без начальной скорости. Коэффициент жесткости пружины с = 9 Н/см. Одновременно (t = 0) точка В (правый конец пружины) начи- нает совершать движение по закону ξ = 1,2sin8t (см) (ось ξ направлена горизонтально влево).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

 

Вариант 13

Груз D (m = 1 кг) прикреплен к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости с1 = 12 Н/см и соединенной другим концом с точкой F бруска АВ. Брусок АВ связывает кон- цы двух параллельных пружин, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точ- ка F находится на равных расстояниях от осей параллельных пружин.

Грузу при вертикальном положении стержня сообщают скорость v0  = 0,5 м/с, направ- ленную вправо. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 12 v (Н), где v  скорость (м/с).

Шток  демпфера  пропущен  через  отверстие  в  невесомом  бруске  АВ  и  соединен с грузом D.

 

Вариант 14

Груз D (m = 1,5 кг) прикреплен одной стороной к концу пружины, имеющей коэффици-

ент жесткости с1 =4,4 Н/см, а другой стороной  к концу двух последовательно соединенных пружин, коэффициенты жесткости которых с2 = 2 Н/см и с3 = 8 Н/см.

Груз отклоняют на величину λ = 2,5 см влево от его положения, соответствующего вер-

тикальному положению стержня, и отпускают, одновременно сообщая грузу начальную ско-

рость v0=0,4 м/с, направленную вправо.

 

Вариант 15

Груз D (m = 1 кг) прикреплен к концу А последовательно соединенных пружин. Другой конец пружин В движется по закону ξ = 1,8sin12t (см) (ось ξ направлена горизонтально вле- во). Коэффициенты жесткости пружин: с1 = 4 Н/см и с2 = 12 Н/см.

При t = 0 груз находился в положении покоя, соответствующем недеформированным пружинам.

11        12

 

X

 

X

 

E

 

13

     X

 

'15

 

X         B

14        E

 

X

 

 

 
16

 

 

E          a          b

 

 

 
17        18

 

19        20

 

PHc. 2.1.32

 

r---.E

D

 

 
A "=I==; =B

 

X

Варианты 16  20 (рис. 2.1.32)

Найти уравнение движения груза D массой mD (варианты 17 и 19) или системы грузов D и Е массами mD  и mE  (варианты 16, 18, 20), отнеся движение к оси х. Начало отсчета совме- стить с положением покоя груза D или, соответственно, системы грузов D и E (при статиче- ской деформации пружин). Предполагается, что грузы D и Е при совместном движении не отделяются.

 

Вариант 16

Пружина 1, на которой покоится груз D (mD = 10 кг), опирается в точке F на брусок АВ,

соединяющей концы двух параллельных пружин 2 и 3. Коэффициенты жесткости пружин 1,

2 и 3: с1 = 200 Н/см, с2 = 160 Н/см, с3 = 140 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от

 

осей пружин 2 и 3, причем

а  c3   .

b          c2

В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е (mE = 20 кг). Одновре- менно системе грузов сообщают скорость v0 = 0,4 м/с, направленную вниз. Массой абсо- лютно жесткого бруска АВ пренебречь.

 

Вариант 17

В некоторый момент времени груз Е снимают с груза D (оба груза находятся в состоя- ния покоя, соответствующем статической деформации пружины). Циклическая частота соб- ственных колебаний системы грузов D и Е на пружине к = 20 с–1, отношение масс mD/mE = 2 /

3.

 

Вариант 18

Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под дей-

ствием груза D (mD= 20 кг) равна

fстD   2

см. В некоторый момент времени на груз D уста-

навливают груз Е (mE=10 кг). Сопротивление движению грузов пропорционально скорости R

=60      3 v (Н), где v − скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с ним,

пренебречь.

 

Вариант 19

Два груза D и Е (mD = 15 кг, mE = 25 кг) покоятся на последовательно соединенных пру-

жинах, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 250 Н/см и с2 = 375 Н/см.

В момент, когда снимают груз Е, точка В опирания пружин начинает совершать движе-

ние по закону ξ = 0,5sin30t (см) (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0).

 

Вариант 20

На груз D, находящийся в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины, в некоторый момент времени устанавливают груз Е. В этот же момент времени системе двух грузов сообщают скорость v0  = 0,3 м/c, направленную вниз. Циклическая ча- стота собственных колебаний груза D на пружине кD = 24c–1, отношение масс mE/mD = 3.

Варианты 21  25 (рис. 2.1.33)

Найти уравнение движение груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, состав- ляющей с горизонтом угол α, отнеся движение к оси х. За начало отсчета принять положение покоя груза (при статической деформации пружин).

 

Вариант 21

В некоторый момент времени груз D (m = 2 кг) прикрепляют к концам недеформиро- ванных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 7 Н/см и с2 = 3 Н/см. Одновременно грузу сообщают скорость v0 = 0,4 м/с, направленную вдоль наклонной плоскости (α = 45º) вниз.

 

Вариант 22

Груз D находится на наклонной плоскости (α = 30º) в состоянии покоя, соответствую- щем статической деформации пружины fст = 2 см. В некоторый момент времени (t = 0) точ- ка     В     (верхний     конец     пружины)     начинает     совершать     движение     по     закону ξ = 0,01sin10t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0).

 

Вариант 23

Груз D (m = 3 кг) прикрепляют к точке F бруска АВ, соединяющего концы двух неде-

формированных параллельных пружин, и отпускают без начальной скорости. Коэффициенты жесткости пружин с1 = 2 Н/см и с2 = 4 Н/см. Точка F находится на расстояниях a и b от осей

 

пружины, причем

а  c2

 

; α = 60º.

b          c1

Сопротивление   движению   груза   пропорционально   скорости   R   =   12v   (Н),   где

v − скорость (м/с). Массой бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

 

Вариант 24

В некоторый момент времени груз D (m = 1 кг) прикрепляют к концу А недеформиро-

ванных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1  = 12

Н/см    и          с2        =          4          Н/см,   и          отпускают      без       начальной      скорости.            Одновременно

(t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение по закону ξ = 1,5sin10t (см).

Ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (α = 30º).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0).

 

Вариант 25

Концы двух одинаковых параллельных пружин соединены бруском АВ. Статическая деформация каждой из пружин под действием груза D (m = 1,5 кг), находящегося на наклон- ной плоскости (α = 30º), fст = 4,9 см.

В некоторый момент грузу D сообщают скорость v0  = 0,3 м/с, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Сопротивление движению груза пропорционально скорости груза, R = 6 v (Н), где v − скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с бруском, пренебречь.

 

 
21        22

 

 

 

 
23

 

25        26

 

27        28

c

a          a

 

X

 

29        30

 

S

 
a   a

X         X

 

PHc. 2.1.33

Варианты 26  30 (рис. 2.1.33)

Пренебрегая массой плиты и считая плиту абсолютно жесткой, найти уравнение дви-

жение груза D массой m с момента соприкасания его с плитой, предполагая, что при даль- нейшем движении груз от плиты не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя этого груза (при статической деформации пружин).

 

Вариант 26

Плита  лежит  на  двух  параллельных  пружинах,  имеющих  коэффициенты  жесткости

с1  = 600 Н/см и с2  = 400 Н/см. Груз D (m = 50 кг) падает без начальной скорости с высоты

 

h = 0,1 м в точку F плиты, находящейся на расстояниях a и b от осей пружин:

а  c2   .

 

 

Вариант 27

b          c1

Коэффициент жесткости каждой из двух параллельных пружин, на которых лежит пли- та с = 130 Н/см. Груз D (m = 40 кг) устанавливают на середину плиты и отпускают без на- чальной скорости при недеформированных пружинах. Сопротивление движению груза про- порционально скорости: R = 400 v (Н), где v − скорость (м/с). Массой демпфера пренебречь.

 

Вариант 28

Груз D падает на плиту с высоты h = 5 см. Статический прогиб пружины под действием груза D равен fст = 1 см.

 

Вариант 29

Плита лежит на двух одинаковых параллельных пружинах 1 и 2, коэффициенты жест-

кости которых с1 = с2= с3 = 400 Н/см.

В некоторый момент времени груз D (m = 200 кг) устанавливают на середину плиты и

одновременно прикрепляют к недеформированной пружине 3, имеющей коэффициент жест-

кости с3 = 200 Н/см.

В тот же момент времени (при недеформированных пружинах) грузу сообщают ско-

рость v0 = 0,6 м/с, направленную вниз.

 

Вариант 30

В некоторый момент времени груз D (m = 100 кг) устанавливают на плиту и отпускают (при недеформированной пружине) без начальной скорости. В этот момент времени точка В (нижний  конец  пружины)  начинает  совершать  движение  по  вертикали  согласно  закону ξ = 0,5sin20t (см) (ось ξ направлена вниз). Коэффициент жесткости пружины с = 2000 Н/см.

Примечание. Начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

 

Пример выполнения задания

 

Два груза D и Е массами тD = 2 кг и mE = 3 кг лежат на гладкой плоскости, наклонен-

ной под углом  = 30º к горизонту, опираясь на пружину, коэффициент жесткости которой с

= 6 Н/см = 600 Н/м.

В некоторый момент времени груз Е убирают; одновременно (t = 0) нижний конец пружины   В   начинает   совершать   вдоль   наклонной   плоскости   движение   по   закону

 = 0,02 sin 10t (м). Найти уравнение движения груза D (рис. 2.1.34).

Решение. Применим к решению задачи дифференциальные уравнения движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза D, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка В занимает свое среднее положе-

ние ( = 0).

Направим ось х вверх вдоль наклонной плос-

кости  (в  сторону  движения  груза  D  после  снятия а    груза E). Движение груза D определяется по сле-

дующему дифференциальному уравнению:

mD x   X i  ,

где   X i

 

- сумма проекций на ось х сил, дейст-

вующих на груз D (см. рис. 2.1.34, а):  G

         D

– веса,

б          N  – нормальной реакции наклонной плоскости, Р –

силы упругости пружины. Таким образом,

 

mD x  GD sin   P .

 

 

Рис. 2.1.34

Здесь

 

P = c (x – fст D –),

где fст D – статическая деформация пружины под действием груза D;  – перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону  = d sinpt (d = 0,02 м, р = 10 рад/с).

Статическую деформацию пружины fстD  найдем из уравнения, соответствующего со-

стоянию покоя груза D на наклонной плоскости (рис. 2.1.34, б):

 X i   0 ,

 

 

 

откуда

–GD sin  +P0 = –GD sin +c fстD = 0,

 

fстD = GD sin / c.

 

Дифференциальное уравнение движения груза D примет вид

 

 

или после преобразования

 

mD x  GD

sin   cx  f

 

ст D

  ,

 

m D x  cx  cdsinpt .

 

Разделив все члены уравнения на mD и введя обозначения

с/mD = k2,       cd/mD = h,

 

приведем дифференциальное уравнение к следующему виду:

 

x  k 2 x  h sin pt .

 

Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения  x , соответ-

ствующего однородного уравнения и частного решения ния:

x

данного неоднородного уравне-

x = x +

x .

 

Общее решение однородного уравнения имеет вид

 

x = C1 cos kt + С2 sin kt.

 

Частное решение неоднородного уравнения:

x = [h/(k2 – p2)] sin t.

Общий интеграл

 

 

x= C1 coskt + С2 sinkt + [h/(k2 – p2)] sinpt.

 

 

для  x

 

Для определения постоянных интегрирования C1  и С2  найдем, кроме того, уравнение

 

x  C k sin kt  C k cos kt  hp /k 2   p 2 cos pt

1          2

 

и используем начальные условия задачи.

Рассматриваемое движение начинается в момент (t = 0), когда деформация пружины становится статической деформацией под действием грузов D и E. При принятом положении начала отсчета О начальная координата груза D равна x0= – fст E, причем fст E = GE sin  / c – статическая деформация пружины под действием груза E.

Таким образом, при t = 0

 

x0= – fст E ,

 

x 0   0 .

 

Составим уравнения x=x(t) и

 

x  x(t )

 

для t = 0

 

 

 

откуда

x0 = C1;

x0

 C 2

k  hp /(k 2   p 2 ) ,

 

C1 = – fст E

 

2

 
C    hp /[k (k 2   p 2 )] .

 

Уравнение движения груза D имеет следующий вид:

 

x   f

 

 

стE

 

cos kt 

 

hp

k (k 2   p 2 )

 

sin kt 

 

h

k 2   p 2

 

sin pt .

 

Найдем числовые значения входящих в уравнение величин:

 

k       c          

mD

6 100

2

 

 17,3 c 1 ,

 

 

f ст E

 GE sin 

c

 3  9,81  0,5  0,0245 м ,

6 100

 

h

k 2   p 2

         cd        

D

 
m  (k 2   p 2 )

600  0,02

2(300  100)

 

 0,03 м ,

 

h

k (k 2   p 2 )

 0,03 10  0,0173 м .

17,3

 

Следовательно, уравнение движения груза D

 

x = – 2,45 cos 17,3 t – 1,73 sin 17,3 t +3 sin 10 t (см).